11. Kiegészítések, többváltozós függvények Flashcards
(8 cards)
EINSTEIN-FÉLE ÖSSZEGZÉSI KONVENCIÓ
- ∂(_k)r(_l) = ?
- (v∇)v = ?
- div(E x B) = ?
A szummajel nincs kiírva. Más néven némaindex-konvenció.
- ∂r(_l)/∂r(_k) = δ(_kl)
- grad(v^2/2) – v x rot_v_
- _B_rot(E) – _E_rot(B)
Közvetett függvény deriválása több változó esetén?
∂f/∂y(_k) = ∂x(_l)/∂y(_k)*∂f/∂x(_l),
ahol l-re 1-től N-ig, k-ra pedig 1-től M-ig van összegzés.
Tehát minden közbülső változó szerint deriválni-láncszabályozni kell, majd összeadni.
Inverzfüggvény deriváltja?
∂x(_l(y(x)))/∂x(_k) = ∂x(_l)/∂y(_m)∂y(_m)/∂x(_k) = δ(_kl)
A(_lm)B(_mk) = δ(_kl), ahol A(_lm) = ∂x(_l)/∂y(_m) és B(_mk) = ∂y(_m)/∂x(_k)
Az egyik csomag változóinak a másik szerinti és a másiknak az egyik szerinti deriváltjából alkotott mátrixok egymás inverzei.
TÖBBVÁLTOZÓS TAYLOR-POLINOM
- Szavakkal?
- Többváltozós fv. második deriváltja r0-ban?
f(r) = f(r0) + ∂(k)f(r0)(r – r0)_k + ∂(k)∂(l)f(r0)/2!(r – r0)_k(r – r0)_l + ∂(k)∂(l)∂(p)f(r0)/3!(r – r0)_k(r – r0)_l(r – r0)_p + …,
ahol r = (x1,x2,x3,…,x_N) és az indexek 1-től N-ig futnak és összegződnek.
- Olyan végtelenedfokú polinom, amely az n-edfokú részéig bezárólag olyan, hogy az adott r0 pontban az összes legfeljebb n-edik deriváltja éppen ugyanaz, mint a vizsgált függvényé.
- Lineáris leképezés: ∂(k)∂(l)f(r0), amely mátrix a Young-tétel miatt midnenhol szimmetrikus.
Ha f(r)-nek r0-ban lokális szélsőértéke van?
- M operátor hatása?
- Milyen lehet az M operátor (azaz milyen lehet az M másodikderivált-mátrix)?
- Szemléletesen a második deriváltakra vonatkozó feltételek?
- Feltételes szélsőértékek?
∂(k)f(r0) = 0 minden k-ra (azaz az összes parciális derivált nulla, mivel ekkor minden irányból szélsőérték van) és a második deriválttal (∂(k)∂(l)f(r0) = M(kl) mátrix) is van valami, mert ebből lehet pontosan kitalálni a dolgokat.
• M szimmetrikus (a Young-tétel miatt), így van N darab ortogonális sajátvektora, álzó főtengely-transzformációval kideríthető.
⟨v|Mv⟩ = M(kl)v(k)v(l) = Σλ(K)v(K)’^2, az elmozdulásra: M(kl)Δr(k)Δr(l) = Σ(K=1,N) λ(K)(Δr(K)’)^2, ahol a vesszős dolgok a sajátvektoros bázis cuccai.
• ⟨v|Mv⟩ (vagy ezzel ekvivalensen a sajátértékek) előjelétől függően lehet pozitív (lok.min.) vagy negatív (lok.max.) definit, pozitív vagy negatív szemidefinit, vagy indefinit (no szélsőérték, mert van olyan elmozdulás, amire a mátrix tagja pozitív, meg van olyan, amire negatív).
• Ha a mátrix r0 pontban pozitív vagy negatív definit, akkor f szintvonalai r0-hoz közel az r0 körüli ellipszisek a ∂(k)∂(l)f(r0) sajátirányaiba mutató tengelyekkel. Ha indefinit, akkor hiperbola ugyanilyen alapon.
• Ilyenkor úgy keressük a szélsőértékeket, hogy teljesüljenek az adott kényszerek. grad(f) ilyenkor a kényszerek gradiensének lineárkombinációja, tehát nem feltélenül nulla.
Fizikai vektor „definíciója”?
• „úgy transzformálódik, ahogy kell”?
Olyan háromkomponensű fizikai mennyiség, amely komponensei új koordinátarendszerre áttérve pont úgy transzformálódnak, „ahogy kell”.
• Egy számolási eljárásból adódó három számhoz, a másik bázisban az ugyanezzel az eljárással kapott számok úgy viszonyulnak, mintha az adott vektor komponensei lettek volna új bázisba transzformálva.
Helyettesítéses integrálás több változóra?
Az régi változók ki vannak fejezve újakkal, úgy, hogy mindkét alakban a kijelölt tartományon végigfutunk.
Ha adottak x_k-k mint y_l-ek függvényei:
∫d(^N)x f(x_k) —> ∫d(^N)y|det(∂x_k/∂y_l)|*f(x_k(y_l)),
ahol |det(∂x_k/∂y_l)| a Jacobi-determináns.
Gauss-integrálok?
• Több dimenzióban?
∫dx exp(–x^2) = √π
∫dx exp(–αx^2) = √(π/α) (az x = t/√α —> dx = 1/√αdt helyettesítés miatt)
∫dx exp(–αx^2 + βx) = √(π/α)exp[β^2/(4*α)]
Ha α > 0, akkor léteznek az integrálok, és az integrálási tartománya mindegyiknek ]–∞; ∞[.
• A kérdéses integrál: ∫d(^N)x exp(–1/2rMr + Vr) = √[(2π)^N/detM]exp[1/2V(k)M(kl)^(–1)*V(l)]
