4. Vektorok reprezentációja (ortogonális bázisban)

Question 1

Ortogonális bázis tulajdonságai?

• Vektor komponensei?
• Komponensek bázisfüggősége?

Answer 1

Ki van jelölve egy origó és ebből indul ki három egymásra merőleges egységvektor. Ezek az ún. bázisvektorok, amik az x, y és z irányokat jobbsodrású rendszerként jelölik ki. Továbbá a bázisvektorok lineárisan függetlenek és minden vektor adódik a lineárkombinációjukként (duh, ha már ez a bázis definíciója).

• A bázisvektorok kijelölésével minden v vektorhoz kölcsönösen egyértelműen hozzárendelődik egy számhármas (ezek az együtthatók a bázisvektorok lineárkombinációjában az adott vektorhoz), ezek a komponensek: v = Σv(_k)e(k). v(fölülnyíl)-lal jelöljük magát a vektort és v(alulvonás)-sal a hozzátartozó számhármast; adott bázisban ezek kölcsönösen meghatározzák egymást.
• Adott bázisban a vektor és az őt meghatározó számoszlop kölcsönösen meghatározzák egymást, de nem ugyanazok. Más bázisra való áttérés esetén a számhármas változik, maga a vektor viszont nem, azaz a vektor maga a választott koordinátarendszertől függetlenül létezik és egyértelmű, de a számhármas nem.

Question 2

KRONECKER-DELTA

• Bázisvektorok skalárszorzata?

Answer 2

A bázisvektorok skalárszorzatainak eredményét tömörítő jelölés. Két indexe van, amik 1-től 3-ig futnak. 3*3 = 9 db számot tömörít.
δ(_kl) = 1, ha k=l
δ(_kl) = 0, ha k≠l

• e(k)*e(l) = δ(_kl)

Question 3

LÉVI-CIVITA-SZIMBÓLUM

• Bázisvektorok vektorszorzata?

Answer 3

A bázisvektorok vektorszorzatainak tömör leírásához használt jelölés. Három indexe 1-től 3-ig fut, ezek közül az egyik összegzőindex. 333 = 27 db számot tömörít.
ε(_klm) = 1, ha az indexek páros permutációban vannak és k≠l≠m
ε(_klm) = –1, ha az indexek páratlan permutációban vannak és k≠l≠m
ε(_klm) = 0, ha bármelyik kettő vagy mind a három index megegyezik

• e(k) x e(l) = Σε(_klm)e(m) minden k, l esetén

Question 4

Mire jó az indexes írásmód?

• Indexfajták?
• Helyes indexes írásmód?

Answer 4

Arra, hogy hosszabb kifejezéseket, műveleteket rövidebbre tömörítsünk.

• A szabad indexek különböző értékeinek annyiféle különböző képlet felel meg, ahányféleképpen az értékeket ki lehet osztani, így ezek ugyanolyan jelűek az egyenlőség mindkét oldalán. Az összegzőindexek azok az indexek, amire az összegzés történik. Betűjele bármi lehet, csak azt tömöríti, hogy szummával összegzéskor hova kell ugyanazt az értéket írni.
• A szabad indexek a két oldalon ugyanannyian és ugyanannyiszor fordulnak elő, az összegzőindexek jele pedig bármelyik szabad indextől különbözik.

Question 5

Vektorok reprezentációja?

• Számmalszorzás?
• Összeadás?
• Skalárszorzás?
• Vektorszorzás?

Answer 5

A vektorok számhármassal való megfeleltetése adott bázisban.

• A számhármas számszorosa: λ_v_ = Σ(λv(_k))e(k). A szummát a számmalszorzás a vektorösszeadásra való disztributivitása miatt lehetett kiemelni.
• Az asszociativitás miatt mindegy mikor szummázunk: a+b = Σ(a(_k)+b(_k))e(k).
• Kihasználjuk, hogy a skalárszorzás a vektorösszeadásra nézve disztributív és a számmalszorzás is kiemelhető belőle: a•b = Σa(_k)b(_k).
• A szummák sorrendje felcserélhető az összeadás kommutativitása miatt: (a x b)_k = ΣΣε(_klm)a(_l)b(_m).

Question 6

Dupla Lévi-Civitára való összegzés?

Answer 6

Σε(_klm)ε(_mpq) = δ(_kp)δ(_lq) – δ(_kq)δ(_lp)

Question 7

Kétszeres vektorszorzás?

Answer 7

a x(b x c) = (a•c)b – (a•b)c

Question 8

Vegyesszorzat reprezentációja?

Answer 8

a(b x c) = ΣΣΣε(_klm)a(_k)b(_l)c(_m)