2. Komplex számok

Question 1

A számfogalom bővítésénél milyen halmazból indulunk ki és mi a motiváció az egyes halmazok bővítésére?

• Ezek milyen jellegű bővítések?
• Miért és milyen alapon lettek bevezetve a valós számok?
• Algebrai számok?

Answer 1

A természetes számok halmazából indulunk ki, ahol működik az összeadás és a szorzás, a többi halmazra való bővítésekkor meg az egyes új műveletek inverzeinek bevezetése a cél – a racionális számokig bezárólag.

• Algebrai jellegűek, mivel a bővítések algebrai műveletek bővítésén, bevezetésén alapul.
• A racionális számok már sűrűn betöltik a számegyenest, de még mindig vannak „hézagok” – pl. nincs olyan szám, a racionális számok között, aminek a négyzete 2 lenne. Az irracionális számok azért lettek bevezetve, hogy a számegyenest kitöltsék és a racionális számokkal együtt a valós számok halmazát alkossák. Ez a bővítés tehát már nem algebrai jellegű, hanem a matematikai analízisben használatos folytonossággal kapcsolatos.
• Olyan számok, amelyek valamilyen egész együtthatós egyenlet megoldásai (a gyökkettő pl. ilyen, de a végtelen már transzcendens szám).

Question 2

Motiváció a komplex számok bevezetésére?

• Következmény?
• Geometriai elképzelés?
• Képzetes egység? Komplex számok felépítése?
• Trigonometrikus alak?
• Műveletek: összeadás, szorzás? Műveleti tulajdonságok?

Answer 2

Hogy negatív számokból is gyököt vonhassunk.

• Nem csak a negatív számok gyökei lesznek értelmesek, de szinte bármilyen más művelet is mindig értelmezhető lesz.
• A számegyenest a valós számok már teljesen betöltik, ezért kerül bevezetésre a komplex sík, ahol a számegyenes a valós tengely és a rá merőleges másik tengely a képzetes tengely. A valós számok a valós tengelyen, a tiszta képzetes számok a képzetes tengelyen, minden más pedig valamelyik negyedben.
• Bevezetjük az i-vel jelölt képzetes egységet, ami a –1 négyzetgyöke. A komplex számoknak így van (lehet) egy valós és egy képzetes része (kb. mint x és y koordináták) és a + i•b alakban felírhatóak, ahol a a valós rész és b a képzetes rész (de a és b is valós számok!).
• A komplex számok felfoghatóak úgy is, mintha a komplex egységkörön és annak „többszörösein” lennének, tehát a valós rész megadható cos függvénnyel, a képzetes meg sin-nel, ilyen alakban: * |z|•(cosφ + i•sinφ) *. Itt φ az adott komplex szám argumentuma, ami a a komplex síkon az origotól a komplex számig húzott szakasz és a valós tengely által bezárt szög |z| meg az szám abszolútértéke.
• Összeadás: az egyes részek összeadódnak; szorzás: ugyanúgy működik mint kéttagú összegek összeszorzása. Ugyanazokat a tulajdonságokat tudják, mint a valós számok, csak a rendezésnek, mivel nem lehet egyértelműen nagyság szerint összehasonlítani a komplex sík pontjait.

Question 3

Mik az elemi függvények?

• Exponenciális függvények fontos alaptulajdonsága?
• Az Euler-szám egy definíciója?

Answer 3

Hatványfüggvények, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények, hiperbolikus függvények.

• f(x + y) = f(x)f(y)
• Annak az exponenciális függvénynek az alapja, ahol x=0-ban a meredekség 1.

Question 4

Komplex exponenciális?

• Euler-formula?
• Exponenciális alak?

Answer 4

Az e^(a+i•b)-t akarjuk értelmezni, de e^a valós szóval ezzel nincs gond, így e^(i•b)-vel kell valójában foglalkozni (mivel az exp. fv.-ek alaptulajdonságát komplex számokra is kiterjesztjük).

• Trigonometrikus alak esetén az addíciós tételek miatt az argumentumok összeadódnak (és az abszolútértékek összeszorzódnak). A komplex egységkörön lévő számok csak a φ argumentumtól függenek (mivel |z| = 1) így felírhatóak így: f(φ) = cosφ + i•sinφ. Az előzőek miatt pedig ha összeszorozzuk őket: *f(φ1)•f(φ2) = f(φ1 +φ2), ez pedig pont az exponenciális függvények alaptulajdonsága, so Euler formula: e^(b•φ) = cosφ + i•sinφ
• Az Euler-formula alapján: e^z = e^a•(cosφ + i•sinφ)