9. Skalár– és vektorfüggvények integráljai

Question 1

Integráltípusok értelmezése

• Mit lehet integrálni?
• Mire lehet integrálni? (Másképp: integrálok fajtái?)
• Milyen mérték szerint lehet integrálni?

Answer 1

1.) felosztás 2.) kiértékelés, szorzás a darabok mértékével 3.) végtelenhez finomítás

• Skalármezőt (M –» R), vektormezőt (M —» V).
• Térfogati (adott, kijelölt alakú térfogat), felületi (térben adott helyzetű és alakú felület), (görbementi/)vonalintegrál (adott helyzetű, alakú görbe).
• Térfogati mérték (kis darab térfogata(, skaláris (darabka nagysága) és vektori (darabka felületvektora) felületi mérték, illetve skaláris és vektori hosszmérték szerint.

Question 2

Mikor skalár és mikor vektor az integrál eredménye?

Answer 2

Vektor ha vektormező van integrálva skaláris mérték szerint, és ha skalármező van integrálva vektori mérték szerint.
Skalár, ha skalármező van integrálva skaláris mérték szerint, és ha vektormező van integrálva vektori mérték szerint.

Question 3

Mikor zárt egy tartomány?

Answer 3

Ha nincs határa.

Question 4

Görbék, felületek irányítása?

• Zárt felület irányítása?

Answer 4

Görbék irányítása mindig értelmes, felületeké viszont nem. A vektori felületmérték szerinti integrálás pl. csak irányítható felületekre működik.

• Mindig kifelé mutató.

Question 5

FUBINI-TÉTEL

• Bizonyos sorrendbeli kettős integrál értelmezése?

Answer 5

Ha létezik | f | sorrendi integrálja, létezik a fordított sorrendben vett sorrendi integrálja és egyenlő az eredeti sorrendbelivel, illetve léteznek maguk az | f | és f H tartományra vett integrálja is (azaz nem csak a sorrendiek).
Így pl. értelmezett a többszörös integrál (pl.: „kétdimenziós” integrál), a felületi és térfogati integrálok erre vezethetőek vissza.

• az [x1,x2] és [y1,y2] oldalakat is Δx(i), ill. Δy(j) szakaszkákra osztjuk, az. H-nak is egy feldarabolását. A H ilyen darabjainak értékeit pedig összeadhatjuk úgy, hogy először egy adott x(i)-re az összes y(i)-n megyünk végig, majd ezután az így kapott (x-től függő) összegeket összeadjuk x irányban. Az egész dolgot végtelenre finomítva kész az integrál.

Question 6

Integrálok kiszámítása? (A helyettesítéses dolgok)

• Δ_r_, Δr?
• Δ_A_, ΔA?
• ΔV?
• Jacobi-determináns?

Answer 6

Az integrálási tartományok megadhatóak paraméterezett alakban, így az integrálok helyettesíthetők az adott paraméter-halmazokra vett integrálokra. Ha az r(u(,v,w)) helyvektor komponensei slightly megváltoznak, éppen a parciális derviáltnak megfelelőnyit változnak, mivel ha valamelyik paraméter változik, akkor az r is. Ilyenkor az integrandusba is az r paraméterekkel kifejezett alakját kell beírni.

• Δ_r_ = (d_r_/dt)dt, Δr = | d_r_/dt | dt
• Δ_A_ = dudv(∂r/∂u)x(∂r/∂v), ΔA = dudv | (∂r/∂u)x(∂r/∂v) — a változás az u és v irányú változások által kijelölt paralelogramma területe
• ΔV = dudvdw[(∂r/∂u)x(∂r/∂v)∂r/∂w] — a változás az u, v és w irányú változások által kijelölt paralelepipedon térfogata
• ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) = ∂r/∂u)x(∂r/∂v)∂r/∂w

Question 7

Integrálás az integrálási tartományok szempontjából?

• Ha a tartományok legfeljebb a határon érintkeznek?
• Zárt görbékre vett integrál esetén?
• Zárt felületekre vett felületi integrálok?

Answer 7

Így is lineáris, azaz a tartományok „összegére” vett integrál ugyanaz, mint az egyes tartományokra vett integrálok összege.

• A tartományok összege azok uniója.
• Ha egy darabon érintkeznek és ellentétes irányításúak, akkor ezek a részek kiejtik egymást.
• A tartományok uniójának határa megegyezik a tartományok határának uniójával, így az azokra vett integrálok is ugyanazok.

Question 8

MEZŐ

• Skalármező? Pl.?
• Vektormező? Pl.? Érkezési halmaz?

Answer 8

Függvények, amelyek a háromdimenziós fizikai terünk pontjaihoz rendelnek dolgokat, tehát értelmezési tartományuk a tér.

• Olyan fv., ami a tér pontjaihoz számokat rendel. Pl.: kiterjedt test hőmérséklet eloszlása
• A tér pontjaihoz vektorokat rendelő fv. Pl.: kiterjedt folyadéktömeg sebességmezője. Fizikai szempontból a 3D-s érkezési halmazok a legjelentősebbek.

Question 9

Integrálási lehetőségek? Példák?

Answer 9

• Sk.mező, görbe, sk.: útépítés költsége
• Sk. mező, görbe, vektori: súrlódásos impulzusátadás (kis szakaszra kiszámolt erőlökéseket kell a görbe minden darabjára összeadni)
• V.mező, görbe, sk.: vonalmenti erősűrűségből erő (kötél az űrben, mekkor összerővel hat rá a Föld gravitációs erő-mezője)
• V.mező, görbe, vektori: mechanikai munka
• Sk.mező, felület, sk.: lepedő összes helyzeti energiája
• Sk.mező, felület, vektori: erő nyomásból (nyomás-mezőször terület)
• V.mező, felület, sk.: erő felületi erősűrűségből
• V.mező, felület, vektori: fluxus (pl. sebességmező és felületvektor szorzata)
• Sk.mező, térfogat: össztömeg (tömegsűrűségszer a térfogatdarab)
• V.mező, térfogat: űrbeli krumplira ható gravitációs mező összereje