13. Ortogonális görbevonalú koordinátarendszerek

Question 1

Görbevonalú koordinátarendszer általánosan? Tömörítve?

• ortogonális koordinátarendszer?
• Lokális koordinátabázis?
• Legfontosabb példák?

Answer 1

3D-s térben olyan A(x,y,z), B(x,y,z) és C(x,y,z) fv.-ek, amelyekre mindháromnak adott értékéhez pontosan egy r(x,y,z) pont tartozik. Tartoznak A-hoz, B-hez és C-hez is szintfelületek, ezek pedig egy-egy pontokban metszik egymást, ezzel egyértelműen kijelölve az A, B, C értékeket.
Tömören: A(x,y,z), B(x,y,z), C(x,y,z) x(A,B,C), y(A,B,C), z(A,B,C), azaz U_K(r) r(U_K)

• A,B,C szintfelületei minden pontban merőlegesen metszik egymást: ∇U(K)*∇U(L) = 0
• Ortogonális görbevonalú koordinátarendszerekhez illeszkedő bázisvektorok, amelyek normáltak és merőlegesek az adott szintfelületre: e(K)(r) = ∇U(K)(r)/|∇U(K)(r)|
• Hengerkoordinátarendszer, gömbi koordinátarendszer. (insert paraméterezés here)

Question 2

ÍVELEMNÉGYZET

• Alapkérdés?
• METRIKUS TENZOR?
• Ortogonálisság?

Answer 2

Annak a távolságnak a négyzete, amire A, B, C pontból kicsit odébbmenve az A+dA, B+dB, C+dC pontba kerültünk.
ds^2 = Σg(KL)dU(K)dU(L)

• Az új A, B, C koordinátarendszerben hogyan lehet kiszámítani a meződeriváltakat.
• Megadja, hogy mennyi a valódi térbeli elmozdulás-négyzet a koordináták kis megváltozása esetén.
g(KL) = Σ[∂r(m)/∂U(K)][∂r(m)/∂U(L)]
• A gradU(K) vektorok mindenhol ortogonálisak: γ(KL) = Σ[∂U(K)/∂r(m)][∂U(L)/∂r(m)] = 0, ha K ≠ L. Tehát A, B, C rendszer pontosan akkor ortogonális, ha a γ(KL) mindenhol diagonális, γ(KL) pedig g(KL) inverze.

Question 3

Meződeriváltak ortogonális görbevonalú koordinátákban?

• Jacobi-determináns?
• Laplace-operátor?

Answer 3

— gradiens:
(gradΦ)_K = [1/h(K)]∂Φ/∂U(K)
— divergencia:
div(v) = [1/(h_Ah_Bh_C)][∂/∂A(h_Bh_Cv_A) + ∂/∂B(h_Ch_Av_B) + ∂/∂C(h_Ah_Bv_C)]
— rotáció:
(rotv)_K = 1/(h(L)h(M))[∂/∂L(h_Mv_M) – ∂/∂M(h_Lv_L)]

• det(J) = h(A)h(B)h(C) —> ∫d^3r (…) —> ∫dA ∫dB ∫dC h(A)h(B)h(C) (…)
• Laplace-operátor:
ΔΦ = 1/(h_Ah_Bh_C)[∂/∂A(h_Bh_C/h_A∂Φ/∂A) + ∂/∂B(h_Ch_A/h_B∂Φ/∂B) + ∂/∂C(h_Ah_B/h_C*∂Φ/∂C)]