7. Sajátértékek, sajátvektorok Flashcards
(22 cards)
KOMPLEX VEKTORTÉR
- összeadás: két s vektortérbeli elemhez vektort rendel
- számmal szorzás: egy komplex számhoz és egy vektorhoz vektort rendel
- ezekre ugyanazok a tulajdonságok teljesülnek, mint valós vektortereknél.
Skalárszorzás komplex vektortérben?
• skalárszorzatos vektortér?
— minden v eleme V vektorra 〈v | v〉 pozitív valós/nulla, és csak akkor nulla, hogy v = nullavektor
— második változóban lineáris: 〈x | α•u + β•v〉 = α〈x | u〉 + β〈x | v〉
— 〈v | w〉 = 〈w | v〉*
— első változóban konjugált lineáris: 〈α•u + β•v | x〉 = α* 〈x | u〉 + β* 〈x | v〉
• Olyan vektortér, ahol az eddigiek mellett értelmes egy további művelet, amire a fenti tulajdonságok érvényesek.
ADJUNGÁLÁS
- skalárszorzásnál összefüggés?
- transzponálás?
Transzponálás + komplex konjugálás.
- 〈w | A^v〉 = 〈A(adj.)w | v〉
- Az adjungálás speciális esete (mikor valós a vektortér).
Mit mond meg a sajátérték?
- sajátvektor?
- sajátaltér?
- geometriai multiplicitás?
- Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok? Következmény?
Azt, hogy melyik az a szám, amire A^ operátor a v vektort vele párhuzamosba viszi (azaz ebbe a számszorosába).
Pontos definíció: egy szám az A^ sajátértéke, ha létezik v ≠ 0 vektor, amire A^v = szám*v
- Azok a vektorok, amelyeket az A^ operátor velük párhuzamosba visz. Ezek kifejezetten egy-egy sajátértékhez tartoznak és végtelen sok van, mert bármilyen számszorosuk, lineárkombinációjuk jó.
- Az adott sajátértékhez tartozó sajátvektorok halmaza.
- Az adott sajátértékhez tartozó sajátaltér dimenziója.
- Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek. A következmény, hogy N dimenziós V esetén egy Lin(V)-beli operátornak legfeljebb N db különböző sajátértéke lehet, hiszen max. ennyi db vektor lehet lineárisan független.
Mikor invariáns egy altér?
- Mit jelent, hogy „M1 és M2 redukálja A^-t”?
- Kapcsolat sajátalterekkel?
- Egyéb tulajdonságok?
Akkor, ha A^ operátor az altérbeli vektorokat ugyanebbe az altérbe képezi.
- Azt, hogy a két M kiegészítő alterek és invariánsak A^-ra.
- A sajátalterek is invariáns alterek (hiszen a sajátaltérben lévő vektorokat a leképezés pont, hogy vele párhuzamosakba, azaz számszorosba képezi).
- A^ az invariáns altéren kívüli elemeket is képezhet oda, illetve lehetséges, hogy van még szűkebb altér, ami szintén invariáns.
Forgatás sajátértéke? Vetítés sajátértéke?
λ = 1
• sajátvektorok: tengelyirányú vektorok
• sajátaltér: tengelyirányú egyenes
• inv. altér még: tengelyre merőleges sík (az alterek redukálják a forgásoperátort)
λ = 1
• sajátaltér: sík, amire vetítünk
λ = 0
• sajátaltér: síkra merőleges egyenes
Sajátértékek egyenletei?
2x2:
λ^2 – Tr(A)*λ + detA = 0
3x3:
λ^3 – Tr(A)* λ^2 + ([A11]+[A22]+[A33])*λ – detA = 0
KARAKTERISZTIKUS EGYENLET
- Miért ez jött ki?
- Karakterisztikus polinom?
- Sajátértékek mik?
- Sajátvektorok megkeresése?
A det(A^–λI^) = 0 egyenlet. (Másnéven sajátérték-egyenlet.)
- Mert ha az A^v = λ_v_-t átrendezzük, akkor ezt kapjuk. Ez egy homogén lineáris egyenletrendszer tulajdonképpen, aminek ugye akkor van nemtriviális megoldása, ha det = 0, azaz nem injektív.
- Az N-edrendű det(A^–λI^) polinom.
- A karakterisztikus egyenlet gyökei.
- Az (A^–λI^)v = 0 egyenletrendszer megoldása pl. Gauss-eliminációval. (Itt nem lesz véletlen, hogy sorok lineárisan összefüggenek, mivel det = 0 az előzőek miatt).
ALGEBRAI MULTIPLICITÁS
A sajátérték, mint az kar. egyenlet gyökének multiplicitása (azaz, hogy a sajátérték hányszoros gyök).
Mikor „egyszerű” egy mátrix?
- „Egyszerű” operátor sajátvektorai miért feszítik ki a teret?
- További esetek, amiből lehet tudni, hogy a mátrix egyszerű?
Akkor, ha a sajátértékeihez tartozó geometriai és algebrai multiplicitások megegyeznek.
- Azért, mert ha az N dimenziós vektortéren ható operátor egyszerű, akkor a sajátalterek dimenziószámainak összege pont N (mert a geometriai és algebrai multiplicitások megegyeznek), és a sajátalterek metszete csak a nullavektor, így a dimenziószámokból adódik.
- Az összes sajátérték különböző (R: mind valós), illetve a mátrix önadjungált (R: szimmetrikus).
Önadjungált operátor esetén?
- Mivel lehet belátni?
- Következmény?
A sajátértékek valósak.
- Komplex skalárszorzással — ez a skalárszorzás már első együtthatójában lineáris konjugált, ezért ha A+ = A^, akkor kijöj, hogy λ* = λ.
- Valós szimmetrikus mátrixéi is valósak, mivel a transzponálás az adjungálás valós leszűkítése és szimmetrikus mátrix esetén M~ = M.
Önadjungált operátor különböző sajátértékei esetén?
- Bizonyítás?
- Elfajult esetben (azaz, mikor az algebrai multiplicitás nagyobb mint 1)?
A sajátvektorok egymásra ortogonálisak.
- Ezt is a komplex skalárszorzással, lehet. Mivel A+ = A és λ* = λ, kijön, hogy λ1⟨v2|v1⟩ = λ2⟨v2|v1⟩ és mivel λ1 ≠ λ2, így csak a sajátvektorok skaláris szorzata lehet nulla, azaz merőlegesek.
- Választhatóak olyan sajátvektorok, amelyek egymásra (és a többire) is merőlegesek (tehát ilyenkor is kifeszítik az egész teret).
Aktív vs. passzív szemlélet?
Aktív szemlélet esetén a vektort forgatjuk el, passzív esetben a koordinátarendszert.
Mikor ortogonális egy mátrix?
- Mi eredményezi, hogy az inverz megegyezik a transzponálttal?
- Speciális ortogonális mátrix?
Akkor, ha a mátrix (operátor) inverze megegyezik a transzponáltjával.
- Az, hogy az eredeti bázisvektorokat az új vektorokba forgató mátrixot az új vektorok komponensei tökéletesen megadják, mivel ortonormáltak. Ilyenkor a transzponáltat az eredetivel megszorozva az egységmátrixot kapjuk.
- Akkor speciális, ha még det(F) = 1 is igaz. Ekkor beszélünk forgatásról.
Új mátrix, ha áttérünk másik bázisra?
- Transzponált?
- Szimmetria?
- Determináns, trace?
- Egységoperátor?
A’ = F^(–1)AF = F(transz.)AF
- A transzponált elforgatottja az elforgatott transzponáltja.
- (Anti)szimmetrikus mátrix új bázisban is (anti)szimmetrikus marad.
- Elforgatott mátrix determinánsa és nyoma is ugyanaz , mint az eredetié.
- Mátrixa az új koordinátarendszerben is az egységmátrix.
UNITÉR
Olyan komplex vektortéren ható operátor, aminek az inverze megegyezi az adjungáltjával.
Mit csinál a főtengely-transzformáció?
- új mátrix?
- szimmetrikus mátrix, mint művelet?
Szimmetrikus mátrixok esetén olyan koordinátarendszerbe visz át, ahol a sajátvektorok a bázisvektorok.
- Az új mátrix – mikor a bázisvektorok a sajátvektorok – diagonális mátrix (csak a főátlóban vannak nem-nullák), ahol a főátló komponensei a sajátértékek.
- Három merőleges egyenes (a s.alterek) mentén a megfelelő s.érték-szeresére összenyom/nyújt.
Determináns és nyom a sajátértékek függvényében?
A determináns a szorzatuk (mivel elforgatott mátrix determinánsa nem változik és főtengely-transzformáció után a mátrix diagonális lesz a sajátértékekkel mint diagonális elemekkel), a nyom meg az összegük (mivel a nyom szintén nem változik forgatás esetén).
Eltolt és elforgatott kúpszeletek egyenletének megállapítása?
- Kvadratikus egyenlet? Elforgatás után?
- Sajátértékek azonos előjelűek?
- Sajátértékek különböző előjelűek?
- Egyik sajátérték nulla?
M szimmetrikus mátrix sajátérték-problémájának megoldásával, majd teljes négyzetté alakítással lehet.
- αx^2 + βy^2 + 2γxy + Ax + By + K = 0. Elforgatás után: λ(1)x’^2 + λ(2)y’^2 + A’x’ + B’y’ + K = 0
- K” > 0: „semmi”, K” = 0: pont, K” < 0: ellipszis
- K” < 0: hiperbola (x” irányú nagytengely), K” > 0: hiperbola (y” irányban nyitott), K” = 0: egyenespár (hiperbola határesete)
- A’ ≠ 0: parabola (x’ tengely irányába vagy azzal ellentétes irányba nyitott), A’ = 0: K” < 0: „semmi”, K” = 0 egyenes, K” > 0: párhuzamos egyenespár (a parabola elfajult esete)
PROJEKTORFELBONTÁS
• Projektorok tulajdonságai?
A operátor felírható olyan projektorok megfelelő A-hoz tartozó sajátértékszorosainak összegeként, amelyek a megfelelő sajátvektorok irányába vetítenek merőleges sík mentén.
(Ez adja vissza az egyes tengelyek menti adott sajátérték szerinti „nyújtogatást”.)
Azaz: A^ = Σλ(k)P^(k)
• A négyzetük önmaguk (ami a projektorok alaptulajdonsága) és bármelyik nem azonos indexű projektor szorzata nulla, mivel merőleges vektorokra vetítenek. Az ilyen projektorok együttesei az ortogonális projektorok halmazai.
Operátor f(operátor) függvénye?
Az a másik operátor, aminek sajátvektorai ugyanazok, mint az eredeti operátoré, sajátértékei pedig az eredeti sajátértékek ugyanolyan f(λ) függvényei.
Azaz: f(A^) := Σf(λ(k))P^(k)
Ellipszis?
Hiperbola?
Parabola?
- Azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól (a fókuszpontoktól) való távolságösszege állandó. A távolságösszeg: 2*félnagytengely, a fókuszpontok helye: c = √(a^2 – b^2). Excentricitás: 0 =< ε < 1 (mivel c < a, kör esetén ε = 0)
- Pontjainak két adott fókuszponttól való távolságkülönbsége állandó. A távolságkülönbség: 2*félnagytengely, a fókuszpontok helye: c = √(a^2 + b^2). Excentricitás: ε > 1 (mivel c > a)
- Pontjai egy adott fókuszponttól és egy vezéregyenestől egyenlő távolságra vannak. A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága a paramétere. Excentricitás: ε = 1 (mivel az ellipszis fókusza a végtelenbe távozott).
