Kombinatorik

Question 1

Statistik ( Wahrscheinlichkeit)

Answer 1

bedient sich der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question 2

Kombinatorik ( Wahrscheinlichkeit)

Answer 2

Werkzeug zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten

Question 3

Wahrscheinlichkeit ( Statistik)

Answer 3

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten aufgrund ermittelter Daten

Question 4

Zielperspektiven

Answer 4

• Propädeutik: SuS mit unterschiedlichen kombinatorischen Situationen vertraut machen, Verständnis entwickeln
• Förderung prozessbezogener Kompetenzen
• Erweiterung der Grundvorstellung von Multiplikation ->kombinatorischer Aspekt
• Unterstützung des Strategieerwerbs

Question 5

Zugänge zur Kombinatorik

Answer 5

• „Wie viele Möglichkeiten gibt es?“

* „Welche Möglichkeiten gibt es?“

Question 6

„Welche Möglichkeiten gibt es?“

Answer 6

• diese Frage kann konkret bzw. ikonisch gelöst werden
• anschließende geordnete Darstellung der möglichen Kombinationen in Zeichnungen, Tabellen und Baumdiagrammen
• Erkennen von Strukturen, die zum analytischen Lösen kombinatorischer Aufgaben genutzt werden können
• dadurch Anzahl der Möglichkeiten herausfinden

Question 7

Lösungshilfen

Answer 7

• Konkret handelnd
• Zeichnen
• Sortieren und Ordnen
• Notieren / Darstellen

=> Thematisierung der unterschiedlichen gefundenen Lösungsmöglichkeiten, Strategien und Darstellungen: Welche sind übersichtlich und geschickt?

Question 8

Lösungshilfen - Konkret handelnd

Answer 8

-> oft als unstrukturiertes Probieren: Bauen, Legen,…

Question 9

Lösungshilfen - Zeichnen

Answer 9

-> Hilfreich kann das Zeichnen auf einzelne Papiere sein, damit auch im Nachhinein eine sinnvolle Anordnung gefunden werden kann, die eine Idee für eine analytische Behandlung solcher Probleme ermöglicht.

Question 10

Lösungshilfen - Sortieren und Ordnen

Answer 10

-> Doppelte aussortieren; mögliche Systematisierung erkennen;

Überlegung: sind das alle Möglichkeiten?

Question 11

Lösungshilfen - Notieren / Darstellen

Answer 11

• (systematisches) Aufschreiben, Skizzieren
• Baumdiagramme
• Tabellen
• Überlegungen (in Teilen oder gänzlich analytisch)
  
  • > Basis dafür sind oft die genannten Darstellungsformen

Question 12

Systematisierung der Lösungsprozesse

Aufgabe: Mit Legosteinen verschiedene Türme aus zwei Steinen bauen, dazu Farben rot, blau, gelb, weiß

Answer 12

• Welche Türme sind „verschieden“? Welche „gleich“?
• Möglichst alle Türme finden, dabei systematisches Vorgehen thematisieren
• Daraus ergibt sich als Thema die übersichtliche Darstellung (Baumdiagramm, Tabelle, Abkürzungen …)
• Variationen: mehr Farben, Türme aus drei Steinen
• Weiterführung: Andere Kontexte

Question 13

Zentrale Fragestellung der Kombinatorik

Answer 13

-> Wie viele verschiedene Anordnungen von Elementen aus einer Menge gibt es (und welche sind dies)?

Question 14

Typen kombinatorischer Aufgaben - zu berücksichtigende Aspekte

Answer 14

• Stammen die Elemente aus verschiedenen Grundmengen oder aus derselben Grundmenge?
• Welche Elemente der Menge sollen unterschieden werden, welche als gleich(wertig) betrachtet werden?
• Kommt es auf die Reihenfolge der Elemente an oder nur auf die jeweilige Anzahl?
• Dürfen einzelne Elemente doppelt vorkommen oder nicht?

Question 15

Typen kombinatorischer Aufgaben - alle

Answer 15

• Kreuzprodukt
• Variation mit Wiederholung
• Variation ohne Wiederholung
• Kombination mit Wiederholung
• Kombination ohne Wiederholung

Question 16

Typen kombinatorischer Aufgaben:

Auswahl von Elementen aus verschiedenen Grundmengen

Answer 16

-> Kreuzprodukt

Question 17

Typen kombinatorischer Aufgaben:

Auswahl von Elementen aus der gleichen Grundmenge

-> Reihenfolge relevant

Answer 17

-> Variation

Question 18

Typen kombinatorischer Aufgaben:

Auswahl von Elementen aus der gleichen Grundmenge

-> Reihenfolge irrelevant

Answer 18

-> Kombination

Question 19

Wie können wir kombinatorische Aufgaben ohne Formeln lösen?

Answer 19

-> Verstehen der Aufgabenstruktur

Question 20

Kreuzprodukt - Formel

Answer 20

Bei k Entscheidungsstufen („Plätze zu vergeben“) und n1 , n2 , …, nk Entscheidungsmöglichkeiten auf den jeweiligen Stufen („Anzahl der Möglichkeiten pro Platz“) wird die Anzahl der Möglichkeiten ausgedrückt als n1 ∙n 2 ∙ … ∙ nk

Question 21

Formel - Variation mit Zurücklegen / Wiederholung

Answer 21

n^k

Question 22

Formel - Variation ohne Zurücklegen / Wiederholung

Answer 22

Wenn k=n -> Permutation: n!

Sonst: n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))

Question 23

Formel - Kombination mit Zurücklegen / Wiederholung

Answer 23

(n+k-1)=(n+k-1) (n+k-1)!
( k ) ( n-1 )=————-
(n-1)! k!

Question 24

Formel - Kombination ohne Zurücklegen / Wiederholung

Answer 24

n! (n)
———— =(k)
(n-k)! k!