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Mathe 3 > Zufall und Wahrscheinlichkeit > Flashcards

Zufall und Wahrscheinlichkeit Flashcards

1
Q

Zielperspektive

A
  • Grundlegendes Verständnis zufälliger Prozesse
  • Entmystifizierung stochastischer Fragestellungen
  • Vorbeugung typischer Fehlvorstellungen
  • Verständnis einfacher stochastischer Begriffe
  • > Schulung eines „intuitiven“ Verständnisses für Wahrscheinlichkeit
  • > Lernen einfacher Strategien zum Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten

• Förderung prozessbezogener Kompetenzen

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2
Q

Zufallsexperimente

A
  • Abläufe, deren Ausgang wir prinzipiell nicht vollständig vorhersagen können
  • > Meist ist klar, welche Ergebnisse für denkbar sind
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3
Q

Ereignis

A
  • Kombination von Ergebnissen, die einen interessieren

Bei Eintreten die gleiche Folge haben

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4
Q

Ergebnis

A

Genau ein möglicher Ausgang

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5
Q

Elementarereignis

A

Wenn nur ein Ergebnis Interessiert

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6
Q

Zufallsexperimente mit theoretisch unendlich vielen möglichen Ergebnissen

A

-> auch für den Einsatz in der Grundschule denkbar

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7
Q

Wahrscheinlichkeiten

A

= ein Maß für die Sicherheit, mit der man mit dem Eintritt eines Ergebnisses oder Ereignisses rechnen kann

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8
Q

Wahrscheinlichkeitsrechnung soll…

A

… vorhandene Unsicherheit kalkulierbar machen

  • > es sollen Prognosen über den Ausgang zukünftiger Ereignisse gemacht werden
  • > es soll bei eingetretenen Ereignissen beurteilt werden, wie gewöhnlich oder wie ungewöhnlich ihr Eintreten ist
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9
Q

Subjektive Wahrscheinlichkeiten:

A
  • Einschätzung der Wahrscheinlichkeit auf Basis von Intuition, persönlichen Erfahrungswerten und Überzeugungen, auch Expertenwissen
  • Es werden Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse verglichen; sichere, wahrscheinliche und unmögliche Ereignisse werden unterschieden.
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10
Q

Objektive Wahrscheinlichkeiten:

A

Man geht davon aus, dass es einen „objektiv richtigen“ Wert für die Wahrscheinlichkeit gibt.

  • > Laplace-Wahrscheinlichkeiten
  • > Frequentistische Wahrscheinlichkeiten
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11
Q

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

A

-> theoretische Überlegungen

• Manchmal legt die Struktur des Zufallsexperiments mit endlicher Ergebnismenge die Annahme nahe, dass die Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ergebnisse gleich groß ist.

                                       Anzahl der günstigen Ergebnisse Wahrscheinlichkeit (p) =————————————————
                                       Anzahl der möglichen Ergebnisse

• Damit hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nur von der Anzahl der dazugehörigen Ergebnisse ab.

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12
Q

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten

A

Beobachtungen bei der wiederholten Durchführung des Experiments

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13
Q

Axiome

A

Übereinkünfte

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14
Q

Axiome für Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

A
  • Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses: 1
  • Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
    = Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen möglichen Ergebnisse
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15
Q

Beispiel: Wurf eines Würfels

A

• Alle möglichen Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit (p)

=> Wahrscheinlichkeit(„irgendeine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6“) = 1 (sicheres Ereignis)
= 6·p

• Also ist 6·p = 1 bzw. p = 1/6.

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16
Q

Ob bei einem Experiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ist abhängig von

A
  • Experiment

- der betrachteten Ergebnismenge

17
Q

Beispiel: Werfen zweier Würfel -> „Augensummen“ als Ergebnisse

A

-> kein Laplaceexperiment!

18
Q

Beispiel: Werfen zweier Würfel -> „einzelne Augenzahlen ohne Unterscheidung der Würfel“ als Ergebnisse

A

-> kein Laplaceexperiment!

19
Q

Beispiel: Werfen zweier Würfel -> Augenzahlen der beiden Würfel getrennt“ als Ergebnisse

A

-> Laplaceexperiment!

20
Q

Riemer-Quader

A

Quaderförmiger „Spielwürfel“

21
Q

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten - Berechnung

A

Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses wird durch die Anzahl der Durchführungen dividiert

22
Q

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten - Empirisches Gesetz der großen Zahlen

A

Mit wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines beobachteten Ereignisses

23
Q

Unklarheiten (Fragen)

A
  • „Ist zwei mal hintereinander würfeln das Gleiche, wie zwei Würfel gleichzeitig werfen?“ -> Wann sind Experimente gleich?
  • „Nach drei gewürfelten Sechsen kommt nicht noch ein viertes Mal die Sechs.“ -> Gesetz der großen Zahlen wird missverstanden
  • „Wer beeinflusst den Würfel?“ -> Animistische Vorstellungen
  • „Unmöglich oder unwahrscheinlich?“ -> Begriffswissen
24
Q

Unklarheiten -> Durch Zufallsexperimente / Aufgaben verdeutlichen

A
  • Der Zufall produziert unregelmäßige Ergebnisse!

- Fachbegriffe!

25
Q

Lernaktivitäten zu Zufall und Wahrscheinlichkeit

-> Anhand verschiedener Zufallsexperimente werden…

A
  • Prozesse als Zufallsprozesse identifiziert (oder eben als nichtzufällig)
  • Chancen (subjektiv) abgeschätzt und verglichen
  • Voraussagen über Häufigkeiten von Ereignissen gemacht
  • Begründungen für diese Voraussagen diskutiert
  • diese Voraussagen anhand von Versuchsserien überprüft
26
Q

Mögliche Zufallsexperimente

A
  • Werfen regelmäßiger Körper
  • Drehen von Glücksrädern bzw. Kreiseln
  • Ziehen aus Urnen oder Socken
  • Schütteln der Schüttelbox
  • Werfen von Wendeplättchen
  • Entscheidungsspiele

Aber auch ganz andere „zufällige“ Ereignisse:

  • Wie geht das Fußballspiel heute Abend aus?
  • Wird mittags die Sonne scheinen oder nicht?
27
Q

Begriffsklärung

A
  • Begriffsverwendung im Alltag
  • Abgrenzung der Begriffe
  • Formulierung eigener Wahrscheinlichkeitsaussagen zu vorgegebenen Einstufungen
  • Einordnung auf der Wahrscheinlichkeitsskala
28
Q

unmöglich |————————————————| sicher

möglich (unwahrscheinlich/wahrscheinlich)

A

Wahrscheinlichkeitsskala

29
Q

Zugang über subjektive Wahrscheinlichkeiten

A
  • z.B. ausgehend von bekannten Zufallsexperimenten (z.B.„Entscheidungsverfahren“)
  • diskutieren fairer und unfairer Entscheidungsverfahren
  • Zunächst erfolgt eine intuitive Einschätzung (bzw. Vergleich) der Wahrscheinlichkeiten
  • Bei den später gegebenen Begründungen werden die zugrunde liegenden Laplace-Experimente implizit diskutiert.
  • Bei der Betrachtung weiterer Zufallsexperimente werden Ergebnisse als möglich, wahrscheinlich bzw. unmöglich klassifiziert.
30
Q

Zugang über frequentistische Wahrscheinlichkeiten

A
  • Zufallsexperimente (Laplaceexperimente und andere) werden bewusst mit häufiger Wiederholung durchgeführt.
  • Die beobachteten Häufigkeiten werden, z.B. als Strichliste oder als Kästchendiagramm, notiert.
  • Daraus werden Aussagen über die zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten abgeleitet.
  • Vorher können die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse abgeschätzt werden (Gleich oder verschieden?, Was ist wahrscheinlicher?, …).
  • Im Nachhinein können bei einfachen und übersichtlichen Experimenten auch genauere Betrachtungen über Laplace-Wahrscheinlichkeiten erfolgen.
31
Q

Zugang über Laplace-Wahrscheinlichkeiten

A
  • Ausgegangen wird von Experimenten, die eine Symmetrie aufweisen (z.B. Wurf eines regelmäßigen Körpers, Drehen von regelmäßigen Glücksrädern).
  • Die betrachteten Ergebnisse müssen so gewählt werden, dass sie die Symmetrie widerspiegeln.
  • Aufgrund der Symmetrie wird argumentiert, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein müssen.
  • Diese Behauptung wird nun anhand von wiederholten Experimenten überprüft.
  • Analog kann bei nicht-symmetrischen Situationen oft auf ungleiche Wahrscheinlichkeiten geschlossen werden (siehe z.B. Riemer-Quader).

Mathe 3 (11 decks)

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