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Mathe 3 > Schriftliche Normalverfahren +&- > Flashcards

Schriftliche Normalverfahren +&- Flashcards

1
Q

Algorithmus:

A

Folge von eindeutigen und schrittweise in einer bestimmten Reihenfolge ausführbaren Anweisungen, die ein bestimmtes Problem in allen vorgesehenen Fällen lösen.

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2
Q

Begriffsklärung: schriftliche Normalverfahren

A
  • Universell einsetzbare Algorithmen
  • Normierung
  • Verschiedene Verfahren des schriftlichen Rechnens
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3
Q

Begriffsklärung: schriftliche Normalverfahren

- Normierung

A
  • Festgelegte Abfolge der Rechenschritte
  • Festgelegte Notationsform
  • Festgelegte Sprechweise
    „Normalverfahren“ leitet sich von einer Normierung dieser Aspekte ab.
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4
Q

Verschiedene Verfahren des schriftlichen Rechnens

A
  • Es gibt durchaus Variation zwischen (Bundes -)Ländern

- Variierende Zielsetzungen führen zu Änderungen der Verfahren über die geschichtliche Entwicklung hinweg (s.u.).

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5
Q

Vorteile schriftlicher Rechenverfahren

A

• Universelle Einsetzbarkeit
-> Ist das Verfahren verstanden, kann es auf alle Rechnungen gleich gut und auf beliebig große Zahlen angewandt werden.

• Große Effizienz und Sicherheit beim Rechnen möglich

  • > Einfaches Rechnen mit großen Zahlen
  • > Kenntnis des Eins-plus-Eins und des Einmaleins genügen

• Relativ einfache Automatisierung
-> Viele Verfahren sind auf eine mögliche Automatisierung auch ohne Verständnis hin optimiert.

• Normierung der Notation
-> z.B. Vergleichbarkeit von Rechnungen

  • Förderung prozessbezogener Kompetenzen möglich
  • Erweiterbarkeit der Verfahren -> Insbesondere auf Dezimalbrüche
  • Algorithmen als eine zentrale mathematische Leitidee
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6
Q

Vorteile schriftlicher Rechenverfahren

- Förderung prozessbezogener Kompetenzen

A
  • Argumentieren, Kommunizieren
  • Problemlösen durch Analysieren und Vergleichen
  • Möglichkeit aktiv-entdeckenden Lernens bei einer gut durchdachten Erarbeitung der schriftlichen Verfahren
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7
Q

Problembereiche bei schriftlichen Verfahren

A

• Rechnen als reine Ziffernmanipulation

  • > Die Zahlen werden nicht mehr als Ganzes aufgefasst.
  • > Schwerwiegende Fehler werden oft nicht erkannt.

• Kaum Entwicklung von Zahlverständnis.

  • > Für die Anwendung der Verfahren nicht notwendig.
  • > Weiterentwicklung nur mit guter Anregung möglich (z.B. Schätzen, Begründen, Verbalisieren,…).

• Gefahr der unkritischen Akzeptanz
-> Fehlendes kritisches Prüfen von Ergebnissen.

• Einschränkung der Adaptivität und Flexibilität

  • > durch Normierung und Wunsch nach (gefühlter) Sicherheit
  • > Aufgaben werden oft nicht mehr danach betrachtet, welcher Rechenweg ökonomisch und geschickt wäre.
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8
Q

Konsequenzen für den Unterricht

A

• Zielsetzung für das Rechnen reflektieren

  • > nicht primär eine hohe Rechensicherheit und Rechenschnelligkeit…
  • > …sondern (kognitiv) effizientes Rechnen

• Schnelligkeit ist nicht (mehr) das vorrangige Ziel
-> Unter Maßgabe des Verständnisses können auch aufwändigere Alternativverfahren gerechtfertigt sein.

• Oberflächliche, unsichere Automatisierung vermeiden

  • > Verständnis und Einsicht für die Verfahren ermöglichen
  • > z.B. aktiv-entdeckende Erarbeitung, operatives Üben

• Unkritische Anwendung vermeiden

  • > Möglichkeiten zur Selbstkontrolle vermitteln und einfordern
  • > z.B. Überschlagsrechnungen, Aufbau von Zahlvorstellung

• Ausgewogenes Verhältnis der Herangehensweisen

• Systematische und typische Fehler vermeiden
-> Fehleranalyse, Diskussion von Fehlern (s.u.)

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9
Q

Konsequenzen für den Unterricht

-> Ausgewogenes Verhältnis der Herangehensweisen

A

Kopfrechnen, halbschriftliches und schriftliches Rechnen:

  • schriftliche Verfahren nicht zu früh einführen
  • schriftliche Verfahren als eine Strategie unter vielen
  • Aber halbschriftliches Rechnen auch nur bei Zahlenmaterial anwenden, bei dem gestütztes Kopfrechnen (individuell) sinnvoll ist
  • > Insbesondere: Ziel ist individuelle Adaptivität
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10
Q

Vorkenntnisse für schriftliche Rechenverfahren

- Addition und Subtraktion

A
  • Grundvorstellungen (Aspekte der Operationen)
  • Addition und Subtraktion bis 20
  • Stellenwertverständnis
  • > Bündelungsprinzip (Bündeln, Entbündeln mit Bündelmaterial)
  • > Stellenwertprinzip (Bedeutung der Ziffern)
  • Überschlagsrechnen
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11
Q

Vorkenntnisse für schriftliche Rechenverfahren

- Multiplikation

A
  • Grundvorstellungen (Aspekte der Operationen)
  • Kleines 1x1
  • Schriftliche Addition
  • Bündelungsprinzip
  • > „Stufenzahl mal Stufenzahl“
  • > Multiplizieren mit Stufenzahlen
  • Überschlagsrechnen
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12
Q

Vorkenntnisse für schriftliche Rechenverfahren

- Division

A
  • Grundvorstellungen (Aspekte der Operationen)
  • Division mit Rest
  • Multiplikationen bis 100
  • Schriftliche Subtraktion
  • Schriftliche Multiplikation
  • Bündelungsprinzip
  • > „Stufenzahl durch Stufenzahl“
  • Überschlagsrechnen
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13
Q

Entdecken des Verfahrens (Addition)

A
  • Zugängliches Problem durch Materialeinsatz.
  • Bündeln als zentrale Idee.
  • Verknüpfung von Materialhandlung und symbolischer Notation.
  • (Er-)Klären des „Übertrags“ und der Rechenrichtung.
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14
Q

Sprechweise

A

Von sehr ausführlicher Verbalisierung…

  • 5 Einer plus 6 Einer sind 11 Einer. Das sind 1 Einer und 1 Zehner (oder 1 E an, 1Z gemerkt).
  • 6 Zehner plus 2 Zehner plus 1 Zehner sind 9 Zehner (6 Z plus 3 Z sind 9 Z, 9 Z an).
  • 2 Hunderter plus 1 Hunderter sind 3 Hunderter (3 H an).

…hin zur einfacheren, knappen Sprechweisen.

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15
Q

Mathematische Grundlagen der Verfahren

Die schriftlichen Verfahren basieren auf…

A
  • …der Zerlegung von Zahlen gemäß dem Dezimalsystem

- …verschiedenen Rechengesetzen

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16
Q

Addition – Zusammenfassung

A
  • Einstieg mit einer Aufgabe mit Übertrag
  • Entdeckende Erarbeitung anhand von Material
  • Spezialfälle thematisieren
17
Q

Addition - Einstieg mit einer Aufgabe mit Übertrag

A
  • Notwendigkeit des Rechnens von rechts nach links

- Bei Aufgaben ohne Übertrag ist schriftliches Rechnen nicht unbedingt der günstigste Weg

18
Q

Addition - Entdeckende Erarbeitung anhand von Material

A
  • Auch Übertragstechnik i.d.R. gut zu entdecken

- Notation und Sprechweise müssen von der Lehrkraft eingebracht werden

19
Q

Addition - Spezialfälle thematisieren

A
  • Nach der Erarbeitung im Rahmen strukturorientierter Übungen (Material!)
  • z.B.
    o Aufgaben mit Ziffern „Null“ in Summanden und im Ergebnis
    o unterschiedliche Stellenanzahlen
    o mehrfache Überträge
20
Q

Schriftliche Subtraktion – eine lange Diskussion

A

• Vielfältige Auseinandersetzungen in der Bildungspolitik und auch in der Mathematikdidaktik in den letzten Jahrzehnten

• Stand 1958 – 2002
Seit 1958 war ein Verfahren seitens der Kultusministerkonferenz vorgeschrieben:
Die sogenannte Ergänzungsmethode mit den Übertragstechniken „Erweitern“ (gleichsinniges Verändern) oder „Auffüllen“.

• Änderung 2002
- Bereits vorher Freistellung des Verfahrens in den Lehrplänen einiger Bundesländer
- Festlegung der KMK 2002 stillschweigend aufgehoben.
- Seitdem setzt sich nach und nach die Abziehmethode mit der
Übertragstechnik „Entbündeln“ durch.

21
Q

Zwei grundlegende Subtraktionsmethoden

A
  • Abziehen: a – b = x
    (Handlung: „W egnehmen“ einer bekannten Anzahl vom Minuenden)
  • Ergänzen: b + x = a
    (Handlung: „Dazulegen“ einer unbekannten Anzahl zum Subtrahenden)
22
Q

Drei Übertragstechniken

A
  • Entbündeln
  • Erweitern
  • Auffüllen (nur beim Ergänzen)
23
Q

In Deutschland häufig diskutierte Verfahren:

A
  • Abziehverfahren: Abziehen mit Entbündeln

- Ergänzungsverfahren: Ergänzen mit Erweitern

24
Q

Schriftliche Subtraktion in bayerischen Lehrplänen bis 2000

A

Ergänzungsverfahren mit Übertragstechnik „Erweitern“ verpflichtend

25
Q

Gleichsinniges Verändern: Prinzip der Konstanz der Differenz

A
  • Wird zu Minuend und Subtrahend die gleiche Zahl addiert, so bleibt die Differenz gleich: a – b = (a + c) – (b + c)
  • Dies wird beim Ergänzungsverfahren genutzt, um den Minuend um 10 Einer (oder Zehner) zu erhöhen und den Subtrahend gleichzeitig um einen Zehner (oder Hunderter) zu erhöhen
    (per Übertragsziffer).
26
Q

Schriftliche Subtraktion - Lehrplanänderung 2000

A
  • Abziehmethode mit Entbündeln als „Richtverfahren“.

- Ergänzungsmethode mit Erweiterungstechnik optional ergänzend.

27
Q

Schriftliche Subtraktion - LehrplanPLUS (seit 2014)

A
  • Abziehverfahren verbindlich vorgeschrieben.
  • Veränderte Notationsform gegenüber dem vorherigen Lehrplan
  • Die Option, individualisierend auch das Ergänzungsverfahren zu nutzen, entfällt.
28
Q

Abziehverfahren – Notation und Sprechweise

A

5 Einer minus 7 Einer geht nicht, ein Einer entbündeln;
15 Einer minus 7 Einer ist gleich 8 Einer, 8 Einer an,
1 Zehner minus 1 Zehner minus 3 Zehner geht nicht, ein Zehner entbündeln;
11 Zehner minus ein Zehner minus 3 Zehner ist gleich 7 Zehner, 7 Zehner an,
6 Hunderter minus 1 Hunderter minus 2 Hunderter ist gleich 3 Hunderter, 3 Hunderter an.

29
Q

Schriftliche Subtraktion – mögliche Zugänge

A

-> zunächst ohne Übertrag!

  • Erarbeitung anhand eines Beispiels
  • Handlung: Wegnehmen des Subtrahenden vom Minuenden.
  • Anknüpfung an halbschriftliches Rechnen.
30
Q

Schriftliche Subtraktion - Handlung am Material

A
  • Handlung: Wegnehmen

- Übertragsidee: Entbündeln

31
Q

Schriftliche Subtraktion

A

• Intermodaler Transfer Materialhandlung und Notation abgleichen

• Spezialfälle explizit besprechen
-> Nach Einführung des Verfahrens:
- Zwischennullen im Minuenden -> Handelndes Lösen erlaubt einen
Zugang zur Bedeutung der Überträge.
- Weniger Stellen im Subtrahenden als im Minuenden

• Sprechweise mit anbinden

32
Q

Argumente zur Subtraktionsmethode „Abziehen“

A
  • Abziehen ist für eine Subtraktion „natürlicher“ als das Ergänzen.
  • Keine Gefahr der Verwechslung mit der schriftlichen Addition.
  • Schreib- und Sprechweise korrespondieren besser als beim Ergänzen.
33
Q

Häufig genannte Argumente für Subtraktionsmethode „Ergänzen“

A
  • Basiert auf dem einfachen Einspluseins.
  • Der Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion wird deutlich.
  • > Aber: Der Zusammenhang sollte in Jgst. 3 bereits sicher beherrscht sein.
  • Anknüpfen an die Herausgabe von Wechselgeld (Alltag) möglich.
  • > Aber: In dieser Form heute keine typische Tätigkeit (von Kassierern) mehr

-> Insgesamt werden die Argumente für „Ergänzen“ gegenüber „Abziehen“ als wenig stichhaltig angesehen.

34
Q

Argumente für die Übertragstechnik Erweitern

A
  • „Gleichsinniges Verändern“ ist ein relativ komplexer Zusammenhang
  • kann entsprechend kaum selbst (wieder-)entdeckt werden
  • verändert beide Zahlen
  • weniger Probleme bei Zwischennullen
  • häufig erfolgt eine mechanische Automatisierung ohne Verständnis („Woher kommt die kleine 1?“)
35
Q

Argumente für die Übertragstechnik Entbündeln

A
  • leichter zugänglich, da auch Bündelungstechnik bei schriftlicher Addition
  • kann von den Lernenden selbst entdeckt werden
  • verändert nur den Minuenden
  • aber auch hier wenig Relevanz der Zwischennullen
  • mit Material sehr gut nachzuvollziehen
36
Q

Konsequenzen – Elternarbeit

A

Eltern haben teilweise noch das Ergänzungsverfahren gelernt (auch nach 2000), deshalb:

• Gute, umfangreiche Information der Eltern ist unabdingbar
• Vorbeugen, damit nicht von den Eltern vorab das „alte“
Verfahren erklärt wird.
• Zeit einplanen, mit den Eltern das für sie neue Verfahren zu besprechen bzw. zu erarbeiten.
• Vorteile des Abziehverfahrens darlegen.

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