Teilbarkeit

Question 1

Zerlegen von Zahlen

Answer 1

• Additive Zerlegung von Zahlen

* Multiplikative Zerlegung von Zahlen

Question 2

Additive Zerlegung von Zahlen

Answer 2

Eine Zahl wird auf möglichst viele verschiedene Weisen als Summe zweier Zahlen dargestellt. z.B. zum Finden von Strategien für Addition und Subtraktion

Question 3

Multiplikative Zerlegung von Zahlen

Answer 3

Eine Zahl wird auf möglichst viele verschiedene Weisen als Produkt zweier Zahlen dargestellt. z.B. zum Finden von Strategien für Multiplikation und Division

Question 4

Teilbarkeit als ein wesentlicher Teil der Zahlstruktur

Answer 4

Strukturelle Gliederung und reichere Vernetzung von Zahlverständnis

Question 5

Bedeutung im Verlauf der Schulmathematik

Answer 5

Gemeinsame Teiler zweier Zahlen sowie gemeinsame Vielfache spielen an vielen Stellen der Mathematik eine wichtige Rolle.
Blick für die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen!

Question 6

Teilbarkeit – Teiler

Eine natürliche Zahl b heißt teilbar durch eine natürliche Zahl a (kurz: a|b, oder: a ist Teiler von b), wenn…

Answer 6

• es eine natürliche Zahl k gibt, so dass b = k • a.
• man b Objekte ohne Rest auf a Gruppen „verteilen“ kann
• man b Plättchen auf a Bündel verteilen kann, ohne dass ein Plättchen übrig bleibt.
• man b Objekte ohne Rest in Gruppen der Größe a „aufteilen“ kann
• man b Plättchen mit Bündeln mit jeweils a Plättchen legen kann, ohne dass ein Plättchen übrig bleibt.

Question 7

Teilbarkeit – Vielfache

Eine natürliche Zahl b heißt Vielfaches der natürlichen Zahl a, wenn…

Answer 7

• es eine natürliche Zahl k gibt, so dass b = k • a.
• man die Zahl b legen kann, indem man mehrere Bündel mit a Plättchen nebeneinander / untereinander legt.
• man die Zahl b mit a Bündel legen kann, die alle gleich mächtig sind.

anders gesagt:
…wenn a ein Teiler von b ist.

Question 8

Teiler / Vielfaches

4&12

Answer 8

…ist Teiler von…
——————————>
4 12

Question 9

„triviale Teiler“

Answer 9

• Für alle natürlichen Zahlen n gibt es zwei sog. „triviale Teiler“:

• 1 teilt n, weil n = q • 1 für q = n
• n teilt n, weil n = q • n für q = 1

Question 10

Teilbarkeit – Spezialfälle

Answer 10

• „triviale Teiler“

- Null

Question 11

Teilbarkeit mit Null:

-> Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

Answer 11

• n teilt 0, weil 0 = q • n für q = 0.

- 0 teilt niemals n (außer n=0), weil es keine natürlich Zahl q gibt, für die gilt, dass q • 0 = n.

Question 12

Entdeckungen am Mal-Baum

Answer 12

• In verschiedenen / allen Bäumen zu einer bestimmten Zahl kommen am Ende dieselben Zahlen gleich oft vor.
• Die Zahlen, die als letzte Zahlen auftreten, haben genau zwei Teiler: die Eins und die Zahl selbst.

Question 13

Primzahlen

Answer 13

• Eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (die Eins und die Zahl selbst) heißt Primzahl.

• Die ersten Primzahlen heißen der Reihe nach:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,…

Question 14

Warum kommen immer dieselben Zahlen vor?

-> Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Answer 14

• Jede natürliche Zahl kann man als Produkt von Primzahlen schreiben …
• …und das geht (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) nur auf eine einzige Art und Weise.
• Jede Primzahl, die im Primzahlprodukt der Zahl n auftaucht, heißt Primfaktor von n.

Question 15

Primzahlen

- Was hat das mit Lernen in der Grundschule zu tun?

Answer 15

• Ein gewisses „Gefühl“ dafür, dass z.B. 12, 48 und 63 etwas mit der Zahl 3 zu tun haben, die 71 aber nicht, gehört zur Orientierung im Zahlenraum.
• Primzahlen bilden die „kleinsten Bausteine“ der natürlichen Zahlen bezüglich der Multiplikation.
• Sich in dieser Struktur ein wenig auszukennen kann den Umgang mit Zahlen erleichtern.

Question 16

Einfache Eigenschaften – Überblick

Answer 16

• Teilbarkeit von Summen
• Teilbarkeit von Differenzen
• Teilbarkeit von Produkten
• Transitivität

Question 17

Teilbarkeit von Summen

Answer 17

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:

Wenn b und c durch a teilbar sind, dann ist auch b+c durch a teilbar.

a|b und a|c ⇒ a|(b+c)

Question 18

Teilbarkeit von Differenzen

Answer 18

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c mit b>c gilt:

Wenn b und c durch a teilbar sind, dann ist auch b – c durch a teilbar.

a|b und a|c ⇒ a|(b – c)

Question 19

Teilbarkeit von Produkten

Answer 19

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:

Wenn b durch a teilbar ist, dann ist auch b ∙ c durch a teilbar (c nicht zwingend durch a teilbar!).

a|b ⇒ a|(b ∙ c)

Question 20

Transitivität der Teilbarkeitsrelation

Answer 20

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:

Wenn b durch a teilbar ist, und c durch b teilbar ist, dann ist c auch durch a teilbar.

ist Teiler von a|b und b|c ⇒ a|c

Question 21

Teilbarkeit

- Wofür braucht man diese Aussagen?

Answer 21

Zahlen können schnell und flexibel auf Teilbarkeit hin untersucht werden

Question 22

Teilbarkeitsregel

– Grundidee

Answer 22

Manchmal kann man an der Dezimaldarstellung einer Zahl sehr einfach ablesen, ob sie durch eine bestimmte andere Zahl teilbar ist.

Das hängt jedoch davon ab, welche andere Zahl (Teiler) man betrachtet.

Question 23

Teilbarkeitsregeln

Es gibt:

Answer 23

• Endstellenregeln
• Quersummenregeln
• zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln

Question 24

Teilbarkeitsregeln

- allgemein

Answer 24

• Sie beruhen auf den Prinzipien des Dezimalsystems (besonders Bündelungsprinzip).
• SuS können diese Regeln entdecken und Begründungen vor allem anhand konkreter Beispiele nachvollziehen.

Question 25

Quersummenregel

- Handlung am Material

Answer 25

-> Stellenwerttafel
Alle Plättchen in Einer Spalte
-> wenn man sie zurück verschiebt ändert sich die Zahl immer um ein Vielfaches von 9

Question 26

Quersummenregeln im Dezimalsystem

Answer 26

• Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme im Dezimalsystem durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme im Dezimalsystem durch 3 teilbar ist.

Question 27

Unterschied (Differenz) zwischen einer Zahl und ihrer Quersumme

Answer 27

• Der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrer Quersumme im Dezimalsystem ist immer durch 9 (und somit 3, weil 3•3=9) teilbar.
• Warum? Die Zahl verändert sich immer um ein Vielfaches von 9, wenn ein Plättchen in eine benachbarte Spalte geschoben wird (Summenregel).

Question 28

Teilbarkeit durch 11

Answer 28

• Für die Zahl 11 gibt es im Dezimalsystem ebenfalls eine Teilbarkeitsregel, die alternierende Quersummenregel.
• Dabei werden die Ziffern von rechts nach links abwechselnd addiert und subtrahiert.

-> Die Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn dieses Ergebnis durch 11 teilbar ist.

Question 29

Endstellenregeln im Dezimalsystem

Answer 29

• Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, reicht es, die letzte Stelle im Dezimalsystem (Einerstelle) anzusehen.
• z.B. gibt es die folgenden Regeln:
• Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Stelle 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Stelle 0 oder 5 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Stelle 0 ist.

Question 30

„Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Dezimalstelle 0 ist.“
Bedeutet:

Answer 30

• Wenn die letzte Stelle einer Zahl 0 ist, dann ist sie durch 10 teilbar
• Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, dann ist ihre letzte Stelle 0

Außerdem kann man dann auch schließen:

• Wenn eine Zahl nicht durch 10 teilbar ist, dann ist die letzte Stelle der Zahl nicht 0.
• Wenn die letzte Stelle einer Zahl nicht 0 ist, dann ist die Zahl nicht durch 10 teilbar

Question 31

Warum funktionieren Endstellenregeln?

Answer 31

• Sie können jede Zahl des Dezimalsystems in eine Anzahl Zehner und die Einerstelle zerlegen

• Ein Zehner ist durch 2 teilbar
  => mehrere Zehner sind durch 2 teilbar
  => wenn der Einer durch 2 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 2 teilbar

Question 32

Endstellenregeln mit zwei Ziffern

Answer 32

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch

• 4; 20; 25
• jede andere Zahl, die ein Teiler von 100 ist

reicht es, die letzten beiden Stellen im Dezimalsystem anzusehen und die daraus gebildete Zahl auf Teilbarkeit durch … zu prüfen.

Question 33

Für die Zahldarstellung im Dezimalsystem gibt es die folgenden Endstellenregeln:

Answer 33

• Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem durch 2 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 5 (bzw. 10) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem durch 5 (bzw. 10) teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 4 (bzw. 25,…) teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern im Dezimalsystem gebildete Zahl durch 4 (bzw. 25,…) teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 8 (bzw. 40,…) teilbar, wenn die aus ihren letzten drei Ziffern im Dezimalsystem gebildete Zahl durch 8 (bzw. 40,…) teilbar ist.

Question 34

Warum funktionieren Endstellenregeln?

Anders herum…

Answer 34

• Angenommen Sie haben bei einer Zahl die Einerstelle verwischt, wissen aber noch, dass sie durch 5 teilbar ist.
• x Zehner sind durch 5 teilbar.

=> die unbekannte Zahl muss durch 5 teilbar sein

Question 35

Teilbarkeit durch 12

Answer 35

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

Question 36

Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln

- Problem

Answer 36

Sie wollen prüfen ob eine Zahl durch einen Teiler b teilbar ist, der sich als Malaufgabe (Produkt) aus zwei anderen Zahlen ergibt: b = x ∙ y.

Question 37

Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln

- Wann „darf“ ich einfach prüfen, ob meine Zahl durch x und durch y teilbar ist?

Answer 37

Wenn eine Zahl durch zwei Zahlen x und y teilbar ist, die selbst keinen gemeinsamen Teiler (außer 1) haben, dann ist die Zahl auch durch das Produkt der beiden Zahlen x ∙ y teilbar.

Question 38

Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln

- Beweis ist darauf zurückzuführen, dass

Answer 38

• sich jede Zahl eindeutig als Produkt von Primfaktoren schreiben lässt
• Zahlen, die keine gemeinsamen Teiler haben, auch keine gemeinsamen Primfaktoren haben

-> für Schulbereich schwer zugänglich

Question 39

Primzahlen finden:

Answer 39

Sieb des Eratosthenes

Question 40

Goldbachsche Vermutung

Answer 40

Alle geraden Zahlen, die größer sind als 2, lassen sich als Summe aus 2 Primzahlen darstellen.

-> Bis heute ist nicht bekannt, ob diese Vermutung richtig oder falsch ist.

Question 41

Teilbarkeitsregeln entdecken

- am einfachsten

Answer 41

• Die Vielfachen von 2 und 10 haben als „gerade Zahlen“ und „Zehnerzahlen“ spezielle, den Kindern bekannte Bezeichnungen.
• Auch die Vielfachen der 5 sind aufgrund der „Kraft der Fünf“ bereits als spezielle Zahlen vorgekommen.
• Durch die besonderen Eigenschaften dieser Zahlen ist die Endstellenregel für die Kinder relativ leicht zu entdecken.

Question 42

Teilbarkeitsregel entdecken

- Sonstige

Answer 42

• Endstellenregel für 4 mit Hunderterfeld visualisierbar; Endstellenregel für 8 daraus ableitbar
• Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln
• Quersummenregel für 3 und 9
• Argumentation mit konkreten Zahlen anhand der Stellenwerttafel
• Operative Übungen (als Vorarbeit)