Block2 Flashcards
(48 cards)
Binomialverteilung formel
g(x) = (n über x ) * p^x * (1-p)^(n-x)
G(x) summe g(x)
n über k = n! / (k!*(n-k)!)
Binomialverteilung def.
- beschreibt eine folge gleichartiger versuche, die genau einen von 2 ausgängen haben können
- die w’keit für einen der beiden ausgänge ist konstant p, für den anderen ausgang 1-p
- bei n maliger wdh -> X ~B(n,p)
mit E(X) = np
Var(X) = np*(1-p) - ist diskret also treppenförmige funktion
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe genau x = 3 fehlerhaft
etikettierte Pakete zu finden?
n= 500, p = 0,5 %, x = 3
g(3)= (500 über 3) × 0.005^3 ×(1−0.005)^500−3 = 0,2143
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe höchstens x = 2 fehlerhaft
etikettierte Pakete zu finden?
p = 1,5 %
n = 200
x = 2
G(2) = g(0)+g(1)+g(2)
Wie groß ist der Anteil fehlerhaft etikettierter Pakete in der Grundgesamtheit?
x = 10
n = 315
1-alpha = 95%
gesucht: die untere und obere vetrauensbereichgrenze p_un, p_ob des 95% zweiseitigen Vertrauensbereiches
p_un = 1 - beta_alpha;beta;1-alpha/2
mit alpha = n-x+1 ; beta = x
-> alpha = 315-10+1 = 306 ; beta = 10
beta_alpha;beta;1-alpha/2 = beta_306;10;0,975 = 0,98467 (aus tabelle)
p_un = 1-0,98467 = 0,015326
p_ob = beta_alpha;beta;1-alpha/2
mit alpha = x+1 = 11
beta = n-x = 305
beta_11;305;0,975 = 0,0576
p_ob = 0,057606
poisson verteilung def.
-diskret
-beschreibt zufallsexperimente, die einen seltenen Versuchsausgang haben
- das eintreten erfolgt zufällig und voneinander unabhängig
- ereignisse pro zeiteinheit bzw. ereignisse pro einheit
-bsp: - anzahl der isolationsfehler pro 100 m
kabel
- Anzahl druckfehler pro seite
- g (x) = (lambda^x * exp(-lambda)) / x!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe mit der Kabellänge 250 m
genau zwei Isolierfehler zu finden ?
lambda_GG = 0,8 je 100m
x = 2
l = 250 m
lambda = 2,5 * 0,8 = 2
g(2) = (2^2 * exp(-2)) / 2! = 0,2707
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe mit der Kabellänge 250 m
höchstens zwei Isolierfehler zu finden ?
G(2) = g(0) + g(1) + g(2)
Gegeben ist eine Poisson
Verteilung mit einem Mittelwert
von 𝜆 = 12. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, in einer
Stichprobe zwischen x = 5 und
x = 18 Fehler zu finden?
G(18) - G(4)
wie viele fehler x sind in der stichprobe zu erwarten ?
lambda_GG = 0,8
n_gg = 100
n_sp = 250
gew. w’keit = 1- alpha = 95%
gesucht: die untere streugrenze x_un und die obere Streugrenze x_ob des 2seitig begrenzten 95% zufallsstreubereich der poissonverteilung
-lambda = 0,8 * 2,5 = 2
x_un = kleinster wert x für den G(x) >= alpha/2
x_ob = kleinster wert x für den gilt G(x) >= 1- alpha/2
x_un = 0
x_ob = 5
-> in 95 % der fälle wirst du zwischen 0 und 5 fehler sehen, wenn die annahme lambda = 2 stimmt
wie groß ist der wahre wert für die mittlere anazhl fehler in der grundgesamtheit µ_GG
x = 2 , 1-alpha = 95%
gesucht: untere und obere vetrauensbereichsgrenze µ_un bzw. µ_ob des 2seitig begrenzten 95% konfidenzintervall für die mittlere fehleranzahl in der grundgesamtheit µ_GG
µ_un = finde den wert für µ, bei dem die Bed. G(x-1,µ) = 95% erfüllt ist
µ_ob = finde den wert für µ, bei dem die Bed. G(x,µ) = 5% erfüllt ist
oder µ_un = 0,5 * chi^2 _f,alpha/2
mit f = 2*x
-> chi^2 _4,0.025 = 0,4844
-> µ:un = 0,5 * 0,4844=0,2422
µ:ob = 0,5* chi^2 _f,1-alpha/2
mit f= 2* (x+1) =6
-> chi^2 _6,0.975 = 14,4494
µ_ob = 0,5 * 14,4494 = 7,2247
-> mit einer w’keit von 95% liegt der wahre wert innerhalb des berechneten intervalls
Normalverteilung def
-kontinuierlich
- E(x) = µ und Var(x) = sigma^2
-standardnormalverteilung ist µ=0 s^2 =1
- jede normalverteilung lässt sich standard normalverteilen mit (X-µ) / sigma
was beschreibt die schiefe
bezeichnet die asymmetrie einer statistischen verteilung
was beschreibt die wölbung / kurtosis
bezeichnet das krümmungsverhalten einer verteilung
was beschreibt der Exzess g_2 = b_2 -3
durch substraktion des wertes 3 wird vergleichbarkeit erzeugt
logarithmische normalverteilung def.
- ist nur für pos. werte def.
- liegt vor, wenn transformierte zufallsvariable Y = ln(X) normalverteilt ist
weibullverteilung formel
g ( x) = (beta / alpha) * ((x-a)/alpha)^(beta-1) * exp(-((x-a)/alpha)^beta)
mit alpha = char. lebensdauer maßstab
beta = ausfallsteilheit form
a = ausfallfreie zeit lage
Mischverteilung Formel E(X-EX)^k
E(X-EX)^k = (1/n) * summe(x_i - x_quer)^k)
fähigkeitskennwerte bei Nicht Normalverteilung
C_m = (OSG-USG) / (Q_0,99865 - Q_0,00135)
C_mk = min{ (µ-USG) / (µ-Q_0,00135) ; (OSG-µ) / (Q_0,99865-µ))}
was ist der unterschied zwischen diskreter und kontinuierlicher Verteilung
diskret: Die Zufallsvariable kann nur endlich oder abzählbar unendlich viele einzelne Werte annehmen.
Typisch bei Zählvorgängen (z. B. Anzahl von Fehlern, Würfen, Kunden).
kontinuirlich: Die Zufallsvariable kann alle reellen Werte in einem Intervall annehmen – also auch Kommawerte.
Typisch bei Messwerten (z. B. Länge, Gewicht, Temperatur, Zeit).
graphische darstellung diskrete merkmale
säulendiagramm
Graphische Darstellung von kontinuierlichen Merkmalen
-Einzelwertverlauf, Einzelwertverlauf zeitecht, -Einzelwertverlauf mehrere merkmale,
-Einzelwertverlauf mehrere merkmale überlagert
-einzelwertverlauf- formnester
- wertestrahl
-Histogramm
Histogramm def
- Bilde klassen und zähle häufigkeit pro klasse
- faustregel : wähle bei n messwerten k = sqrt(n) klassen und klassenbreite = R/k
Wahrscheinlichkeitsnetz: Grafischer test auf Normalverteilung
- daten werden nach größe geordnet und die emp. verteilungsfunktion berechnet
- rote linie ist die theo. verteilungsfunktion einer normalverteilung
- blau = die emp.verteilungsfunktion
