Cinématique du point matériel

Question 1

Que signifie «cinématique» ?

Answer 1

C’est l’étude du mouvement, indépendamment des causes (forces)

Question 2

Qu’est-ce qu’un référentiel ?

Answer 2

C’est l’association d’un repère d’espace (origine + base orthonormée directe) et d’un repère de temps

Question 3

Qu’est-ce que le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires ?

Answer 3

Pour le sens : on dirige α du premier vers le deuxième (sens anti horaire), et le signe de la norme donne le sens (si + vers nous, si - vers le fond)

Question 4

Qu’est-ce que le produit vectoriel de B# et A#, par rapport au produit vectoriel de A# et B# ?

Answer 4

Question 5

Que vaut le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires ? Et donc le produit vectoriel de A# par A# ?

Answer 5

Question 6

Que peut-on dire du produit vectoriel des axes dans un repère orthonormé direct ?

Answer 6

Question 7

Comment calculer le produit vectoriel de A# et B# ? Grâce au déterminant

Answer 7

Pour chaque coordonnée, on barre la ligne correspondante et on calcule le déterminant des deux autres

Question 8

Quelles sont les trois systèmes de coordonnées usuels ?

Answer 8

• Cartésiennes
• Cylindriques
• Sphériques

Question 9

Que vaut le vecteur OM# en coordonnées cartésiennes ?

Answer 9

Question 10

Qu’appelle-t-on vecteur déplacement élémentaire ?

Answer 10

MM’# = δl# = dl# = d(OM#)

Question 11

Quelles sont les coordonnées du vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes ?

Answer 11

Question 12

Que sont les coordonnées cylindriques ? (représenter dans l’espace (x, y, z) classique et vu de y en fonction de x)

Answer 12

On définit la position M(t) en fonction de r, θ et z

Question 13

Comment appelle-t-on e_r# et e_θ#, en coordonnées cylindriques ? Quelles sont leurs expressions ?

Answer 13

Question 14

Quel est le lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques ?

Answer 14

Question 15

Que valent d(e_r#)/dθ et d(e_θ#)/dθ, en coordonnées cylindriques ? Comment le justifier ?

Answer 15

On exprimer ces vecteurs en coordonnées cartésiennes pour le justifier

Question 16

Que peut-on dire de la base (e_r#, e_θ#) ? Pourquoi ?

Answer 16

On dit que c’est une base «locale» ou «mobile», car ils varient en fonction de θ

Question 17

Que vaut de_r#/dt ?
Et de_θ#/dt ? Justif

Answer 17

e_r(θ(t)), donc de_r#/dt = de_r#/dθ × dθ/dt = θ• × e_θ#
De même, de_θ#/dt = -θ• × e_r#

Question 18

En représentant le vecteur F# d’une force dans un repère (e_x#, e_y#), exprimer F# en cartésiennes, en introduisant θ

Answer 18

Question 19

Donner l’expression du vecteur position en coordonnées cylindriques

Answer 19

Question 20

Donner l’expression du vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques, justif

Answer 20

Question 21

Que sont les coordonnées sphériques ?

Answer 21

On exprime M(t) en fonction de r(t), θ(t) et φ(t)

Question 22

Que vaut dl# en coordonnées sphériques ?

Answer 22

Question 23

Exprimer en coordonnées cartésiennes, la vitesse et l’accélération d’un point M dans un référentiel R

Answer 23

Question 24

Exprimer en coordonnées cylindriques, la vitesse et l’accélération d’un point M dans un référentiel R
Justif

Answer 24

v# = r•×e_r# + r×θ•×e_θ# + z•×z#

a# = (r•• - r×(θ•)²)×e_r# + (2×r•×θ• + r×θ••)×e_θ# + z••×e_z#

Question 25

Exprimer le vecteur position, le vecteur vitesse, θ(t) et le vecteur accélération, en coordonnées cylindriques et dans le cas d’un mouvement circulaire Justif

Answer 25

Question 26

Exprimer le vecteur vitesse et le vecteur accélération, en coordonnées cylindriques et dans le cas d’un mouvement circulaire **uniforme** Justif

Answer 26

Car de manière générale : v# = R×ω(t)×e_θ# a# = R×θ••×e_θ# - R×(θ•)²×e_r# et θ• est constant, donc θ••=0

Question 27

Qu’est-ce qu’un mouvement à accélération centrale ?

Answer 27

Question 28

Justifier que le mouvement est plan dans le cas d’une accélération centrale

Answer 28

Question 29

Qu’est-ce que la loi des aires ?

Answer 29

Le segment OM balaie des aires égales pendant des durées égales, dans le cas d’un mouvement à accélération centrale. r² × θ• = cste

Question 30

Montrer que la deuxième loi de Kepler s’applique en accélération centrale

Answer 30

Question 31

Si on a *image* et C=r²×θ•, comment montrer que r_p × v_p = r_a × v_a

Answer 31

Question 32

Quelle est l’aire d’un arc de cercle de rayon R, de centre O et d’angle α ?

Answer 32

1/2 × R² × α

Question 33

Comment faire pour trouver une équation polaire r(θ) ?

Answer 33

Il faut s’arranger pour faire disparaître le temps et intégrer dr/dθ

Question 34

Quelles sont les deux méthodes pour montrer qu’un mouvement respecte la loi des aires ?

Answer 34

1. Montrer que : r² × θ• = cste 2. Montrer que : l’accélération est centrale

Question 35

Quel est l’avantage des coordonnées cartésiennes pour calculer la vitesse et l’accélération ?

Answer 35

Pas besoin de dériver des vecteurs

Question 36

Comment étudier un mouvement complexe (ex : hélicoïdal)

Answer 36

Décomposer en mouvements simples. Ex : Translation vers le haut et rotation

Question 37

Comment passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes ?

Answer 37

OM# = r × u_r# = r × sinθ × cosφ × u_x# + r × sinθ × sinφ × u_y# + r × cosθ × u_z#

Question 38

Qu’appelle-t-on équation du mouvement ?

Answer 38

C’est l’équation différentielle décrivant le mouvement de l’objet

Question 39

Que sont les équations horaires ?

Answer 39

Ce sont les équations donnant les coordonnées en fonction du temps

Question 40

Qu’est-ce que l’équation de la trajectoire ?

Answer 40

C’est une courbe paramétrée par le temps, donnant l’expression d’une coordonnée en fonction d’une autre

Question 41

Que peut-on dire de la vitesse d’un mouvement uniforme ?

Answer 41

||v#||=cste, mais attention : v# ≠ cste#, car elle n’est pas forcément toujours dirigée de la même manière

Question 42

Comment réécrire a# dans un mouvement circulaire, pour faire apparaître v ?

Answer 42

Question 43

Que vaut l’aire d’un cercle de rayon r ?

Answer 43

π.r²

Question 44

Que vaut le volume d’une sphère de rayon r ?

Answer 44

4/3 × π × r³

Question 45

Que vaut le périmètre d’un cercle de rayon r ?

Answer 45

2.π.r

Question 46

Que vaut la surface d’une sphère de rayon r ?

Answer 46

4.π.r²