Circuit Linéaires Passifs En Régime Sinuosidal Forcé

Question 1

Comment est le courant d’entrée dans un régime sinusoïdal forcé ?

Answer 1

Onde sinusoïdale (courant alternatif), de pulsation variable

Question 2

Quelle est la forme des solutions dans un circuit en régime sinusoïdal forcé ?

Answer 2

Sinusoïdales

Question 3

Donner la forme de e(t) et plus généralement de s(t), grandeur de sortie recherchée

Answer 3

e(t)=E_M * cos(ωt + φ_E), avec E_M l’amplitude et φ_E le déphasage

s(t)=S_M * cos(ωt + φ_S), avec S_M l’amplitude et φ_S le déphasage

Question 4

Qu’est-ce que la notation complexe d’un signal ? Comment l’appelle-t-on ?

Answer 4

s(t) est le signal complexe instantané tel que s(t)=Re(s(t))
Par exemple, u(t) est la tension complexe instantanée

Alors, s(t)=S_M * exp(j.(ωt + φ_S))

Question 5

Comment passer de s(t) à s•(t) ?

Answer 5

s•(t) = (jω) * s(t)

Question 6

Comment passer de s•(t) à s(t) ?

Answer 6

s(t) = (1/jω) * s•(t)

Question 7

Qu’est-ce que S ? Quelles sont ses deux caractéristiques intéressantes ?

Answer 7

S est appelée l’amplitude complexe, elle est telle que :
S=S_M * exp(jφ) (|S|=S_M et arg(S)=φ)

Alors : s(t)=S * exp(j.ω.t)

Question 8

Qu’est-ce que l’impédence complexe ? Quelle est son unité ? Comment la note-t-on

Answer 8

C’est le complexe Z tel que u(t)=Z*i(t) dans la loi de comportement d’un dipôle passif quelconque composé de résistances, condensateurs et bobines.

Son unité est le Ohm (Ω)

Question 9

Qu’est-ce que l’inpédence complexe d’une résistance seule ?

Answer 9

Z=R

Question 10

Qu’est-ce que l’inpédence complexe d’une bobine seule ?

Answer 10

Z=j.L.ω

Question 11

Qu’est-ce que l’impédance complexe d’un condensateur seul ?

Answer 11

Z = 1/(j.C.ω)

Question 12

Exprimer Z en fonction de u(t) et i(t), puis U et I, puis U_M, I_M, φ_u et φ_i.

Answer 12

Z= u(t)/i(t) = U/I = U_M/I_M * exp(j.(φ_u - φ_i))

Question 13

Qu’est-ce que l’impédance ?

Answer 13

C’est le module de Z.
On a donc Z=U_M/I_M

Question 14

Quel est l’argument de l’impédance complexe ?

Answer 14

φ=φ_u - φ_i

Question 15

Qu’est-ce que la valeur efficace d’un signal sinusoïdal ?
Comment exprimer l’amplitude de ce signal en fonction de la valeur efficace ?

Answer 15

Question 16

Déterminer la relation entre U_M et I_M dans une résistance, ainsi que la différence de phase (décalage de période) entre u(t) et i(t) ?
Justif

Answer 16

Z = R pour une résistance, donc Z=R et φ=0 :
U_M = R * I_M et u et i ne sont pas décalés

Question 17

Déterminer la relation entre U_M et I_M dans une bobine, ainsi que la différence de phase (décalage de période) entre u(t) et i(t) ?
Justif

Answer 17

Z = L.ω pour une bobine, donc Z=L.ω et φ=π/2 :
U_M = L.ω * I_M et u est en quadrature avance sur i (u croise l’axe des abscisses avant i et φ=π/2)

Question 18

Déterminer la relation entre U_M et I_M dans un condensateur, ainsi que la différence de phase (décalage de période) entre u(t) et i(t) ?
Justif

Answer 18

Z = 1/(j.C.ω) pour un condensateur, donc Z=1/C.ω et φ=-π/2 :
U_M = 1/(C.ω) * I_M et u est en quadrature retard sur i (u croise l’axe des abscisses π/2 après i)

Question 19

Qu’est-ce que l’impédance complexe d’une suite de dipôles en série ?

Answer 19

C’est la somme de leurs inpédences complexes

Question 20

Qu’est-ce que l’impédance complexe d’un ensemble de dipôles en parallèle ?

Answer 20

L’inverse de l’inpédence complexe d’une suite de dipôles en parallèle est la somme des inverses des inpédences complexes de ces dipôles

Question 21

Comment déterminer graphiquement la différence de phase (déphasage) entre deux fonctions de même période ?

Answer 21

C’est 2π * décalage/période

Question 22

Que vaut la puissance moyenne en RSF en fonction de Z et U_M ? En fonction de Z et I_M ?
Justif

Answer 22

<P(t)>=1/2 * Re(1/Z) * (U_M)^2
Ou : <P(t)>=1/2 * Re(Z) * (I_M)^2

Exprimer P(t)=u(t) * i(t) la puissance instantanée
Donc : <P(t)>=1/2 × Re(u(t) × i*(t))
=1/2 × Re(U × I *)
=1/2 × Re(Z × I × I *)
<P(t)>=1/2 × Re(Z) × (I_M)^2
Ou : <P(t)>=1/2 × Re(u *(t) × i(t))
=1/2 × Re(U * × I)
<P(t)>=1/2 × Re(1/Z) × (U_M)^2, car I=U /Z

Question 23

Comment déterminer U s / U e lorsque l’entrée et la sortie sont en série ?
Justif

Answer 23

On sait que U s / U e = (Z s * I) / (Z e * I) = Z s / Z e,
On fait donc le quotient des impédences

Question 24

Qu’est-ce que H ?

Answer 24

H = U s / U e

Question 25

Qu’est ce qu’une résonance ?

Answer 25

C’est un maximum de H(x)
Avec x=ω/ω0

Question 26

Comment déterminer H(x) et tracer sa représentation graphique ?

Answer 26

1. Déterminer U s en fonction de U e
2. En déduire H(x)=…
3. En déduire H(x)=|H(x)|=…
4. Calculer H lorsque x tend vers 0 et +∞
5. Dériver H et déterminer dans quel cas et quand il s’annule (s’il s’annule)
6. Tracer alors H(x)

Question 27

Qu’est-ce que la largeur de la courbe de H(x) ?

Answer 27

C’est la largeur à H=H_M/√(2)

Question 28

Comment déterminer la largeur de la courbe de H(x) ?

Answer 28

Résoudre l’équation H(x)=H_M/√(2) :

• remplacer H(x) par son expression, on a donc l’égalité de deux carrés (A2 et B2)
• On a donc A=+-B <=> A+-B=0
• Résoudre, garder les deux racines positives sur les quatre
• La largeur est donc l’écart entre ces deux racines

Question 29

Que vaut la valeur moyenne d’un signal x(t) de période T ?

Answer 29

⟨x(t)⟩=1/T × ∫<t0→t0+T>x(t).dt

Question 30

Comment modélise-t-on un condensateur et une bobine à basse fréquence et à haute fréquence ?
Justif

Answer 30

Pour une bobine :
- Lorsque la pulsation tend vers 0, l’impédance également et alors aucune résistance n’est opposée. On modélise la bobine par un simple fil
- Lorsque la pulsation tend vers +∞, l’impédance également et alors au courant ne peut passer. On modélise la bobine par un interrupteur ouvert

Inverse pour le condensateur

Question 31

Qu’est-ce que la déphasage entre deux signaux s1 et s2 ? Comment déterminer quel signal est en avance et quel signal est en retard à partir du déphasage ?

Answer 31

Soit φ1 et φ2 les phases de s1 et s2, alors le déphasage est Δφ=φ2 - φ1.
S’il est positif, s2 est en avance sur s1 et s’il est négatif, s2 est en retard sur s1.

Question 32

Sur quels circuits peut-on avoir un phénomène de résonance ?

Answer 32

Sur les circuits d’ordre au moins 2

Question 33

Quand parle-t-on de résonance aiguë ou floue ?

Answer 33

On parle de résonance aigüe lorsque la largeur de la courbe à G_dB_M - 3dB (=bande passante à - 3dB) est faible (⇔ Q est grand)

On parle de résonance floue lorsque la largeur de la courbe à G_dB_M - 3dB (=bande passante à - 3dB) est élevée (⇔ Q est petit)

Question 34

Comment déterminer l’argument d’un complexe de la forme a + i.b ?

Answer 34

L’argument est :
- Arctan(b/a) (si a>0)
- Arctan(b/a) + π (si a<0)

Si a est de signe variable :
- Si b est de signe constant, a + i.b = i(b - i.a) alors arg(a + i.b) ≡ arg(i) + arg(b - i.a)[2π], on repars sur le classique
- Si b est de signe variable, cas par cas

Question 35

Quand y a-t-il une résonance en tension ? Quelle est alors la pulsation de résonance ? La valeur de H_max de la résonance ?

Answer 35

Il faut Q>1/√(2)
La pulsation de résonance est ω_r = ω0×√(1-1/(2Q)²)
H_max = Q/√(1-1/(2Q)²)
Donc si Q est supérieur à quelques unités, on a ω_r ≈ ω_0 et H_max ≈ Q

Question 36

Quand y a-t-il une résonance en intensité ? Quelle est alors la pulsation de résonance ?

Answer 36

Il y a toujours une résonance en intensité :
ω_r = ω0

Question 37

Entre quelles valeurs peut être compris le déphasage ? Par convention

Answer 37

[-π;π]

Question 38

Comment calculer la valeur moyenne du produit de deux signaux sinusoïdaux s1 et s2 ?

Answer 38

<s1×s2> = 1/2 × Re(s1×s2* ) = 1/2 × Re(s1*×s2)

Question 39

Comment procéder lorsqu’on a un système couplé symétrique ? (Exemple en photo)

Answer 39

Il faut poser s la somme (ici S=q1 + q2) et δ la différence (ici δ=q1-q2) et soustraire et additionner les deux lignes