Propagation D’un Signal

Question 1

Qu’est-ce qu’un train d’onde ?

Answer 1

Question 2

Pourquoi doit-on moduler l’amplitude d’un signal audible, si l’on veut le transmettre ?

Answer 2

Question 3

Comment remarquer qu’un terme sinusoïdal est très rapide par rapport à un autre ?

Answer 3

Si les deux terme sont de la forme cos(a×t) et cos(b×t), si a»b, une petite variation de t augmente une variation beaucoup plus grande de a×t que de b×t, donc cos(a×t) «réagit» plus vite, c’est le terme rapide.

Question 4

Lorsqu’on doit tracer la courbe d’un signal formé du produit de deux signaux sinusoïdaux, l’un rapide et l’autre lent, comment procède-t-on ?

Answer 4

On tracer d’abord une période entière de signal lent, sur l’entièreté du graphique, et de - signal lent, qui forment «l’enveloppe» pour le signal rapide. On trace ensuite beaucoup de périodes du signal rapide, qui oscille entre signal lent et - signal lent, en se rappelant que T_lent&raquo_space; T_rapide.

Question 5

Lorsqu’on récupère un signal modulé en amplitude, quelle partie du signal interprète-t-on ?

Answer 5

On interprète la partie positive de l’enveloppe.

Question 6

Comment démodule-t-on un signal en amplitude ? Concrètement

Answer 6

On reçoit le signal que l’on fait tout d’abord passer dans un «multiplicateur», dans lequel on fait également rentrer un autre signal.
On applique alors un filtre passe-bas au signal, pour récupérer uniquement la fondamentale et le signal de la pulsation initiale.

Question 7

Que signifie «moduler» un signal ?

Answer 7

C’est le transformer sous une nouvelle forme qui va être propice à sa transmission, mais qui garde les informations nécessaires à sa reconstitution.

Question 8

Qu’est-ce que le phénomène de battement ?

Answer 8

Lorsque deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines mais différentes se superposent, il en résulte un signal qui est la somme de ces deux signaux. Ce signal varie périodiquement en amplitude. C’est une sinusoïdale dont la période est la demi-différence des fréquences des signaux, oscillant dans une enveloppe sinusoïdale dont la fréquence est la moyenne des deux signaux.

Question 9

Que peut-on dire de Δω pour deux signaux en battement ?

Answer 9

Δω«(ω1 + ω2)/2, car les fréquences sont voisines

Question 10

Comment se propage une onde mécanique sur une corde ?

Answer 10

Question 11

Comment se propage une onde mécanique le long d’un ressort ?

Answer 11

Question 12

Qu’est-ce que le théorème de Schwarz ?

Answer 12

∂²s/∂x∂t = ∂²s/∂t∂x

Question 13

Qu’est-ce que l’équation de D’Alembert ?

Answer 13

Dans un cadre idéal (= sans absorption)

Question 14

Qu’est-ce qu’une onde plane ?

Answer 14

C’est une onde sur une seule dimension plus le temps. La surface d’onde est donc constituée de l’ensemble des points à l’abscisse x, c’est un plan.

Question 15

Qu’est-ce qu’une onde plane progressive ?

Answer 15

C’est une onde plane qui se propage selon l’axe Ox à la célérité c.

Question 16

Comment s’écrit le signal d’une onde plane progressive qui se déplace selon l’axe Ox croissant (dans le sens «direct») ?

Answer 16

s(x;t) = F(t - x/c) = F(ct - x)

Question 17

Comment peut-on écrire la formule de propagation d’une onde plane progressive qui se déplace selon l’axe Ox décroissant (dans le sens «indirect») ?

Answer 17

s(x;t) = F(t + x/c) = F(ct + x)

Question 18

Qu’est-ce qu’une onde plane progressive harmonique, comment l’appelle-t-on également ?

Answer 18

On l’appelle également onde plane progressive sinusoïdale ou onde plane progressive monochromatique.
C’est une onde plane progressive qui se propage selon s(x;t) = S_M × cos(ω(t-x/c)+φ) (si elle se propage selon Ox croissant, sinon s(x;t) = S_M × cos(ω(t+x/c)+φ)).

Question 19

Comment s’écrit un cosinus temporel périodique de période T ?

Answer 19

cos(2π/T × t)

Question 20

Comment s’écrit un signal spatial périodique de période λ ?

Answer 20

cos(2π/λ × x)

Question 21

Qu’est-ce que k ?

Answer 21

k=2π/λ, c’est l’équivalent spatial de la pulsation

Question 22

Comment peut-on écrire la formule de propagation d’une onde plane progressive harmonique en fonction de la période T temporelle et de la période λ spatiale ? Et en fonction de ω et k ?

Answer 22

s(x;t) = S_M × cos(t×2π/T - x×2π/λ + φ)
= S_M × cos(ω×t - k×x + φ)

Question 23

Comment représenter s(x;t) en fonction de x à divers instant t ?

Answer 23

Calculer s(x;t) pour certaines valeurs spéciales de t (0, 1/4 de période, 1/2 période, 3/4 de période) :

Question 24

Comment représenter s(x;t) en fonction de t à divers emplacements x ?

Answer 24

Calculer s(x;t) pour certaines valeurs spéciales de x (0, 1/4 de période, 1/2 période, 3/4 de période)

Question 25

Comment utiliser la notation complexe pour l’équation de propagation d’une onde plane progressive harmonique ? Et quelles sont alors ses dérivées partielles ?

Answer 25

Question 26

Qu’est-ce qu’une onde ?

Answer 26

C’est la perturbation d’une ou plusieurs propriétés d’un milieu, sans déplacement global de matière

Question 27

Qu’est-ce qu’une onde transversale ?

Answer 27

Question 28

Qu’est-ce qu’une onde longitudinale ?

Answer 28

Question 29

Qu’est-ce qu’une onde cylindrique ?

Answer 29

C’est une onde dont les plans d’onde sont des cercles

Question 30

Qu’est-ce qu’une onde sphérique ?

Answer 30

C’est une onde qui se propage en divergeant d’un point O fixe. On appelle r la distance à O d’un point, l’onde dépend uniquement de r et du temps. La surface d’onde est donc composée de l’ensemble des points à une distance r de O, c’est une sphère.

Question 31

Pourquoi l’amplitude d’une onde non plane n’est-elle pas constante ?

Answer 31

Car la surfaces des plans d’ondes augmente, l’énergie totale est donc répartie sur une surface plus grandes et moins «concentrée», ainsi l’amplitude (qui est la même en tout point de l’onde à un instant t) diminue au cours du temps.

Question 32

Comment s’écrit le signal d’une onde sphérique divergente (dans le sens «direct») ?

Answer 32

s(x;t) = F(t - r/c) = F(ct - r)

Question 33

Comment s’écrit le signal d’une onde sphérique convergente (dans le sens «indirect») ?

Answer 33

s(x;t) = F(t + r/c) = F(ct + r)

Question 34

Comment peut-on écrire la formule de propagation d’une onde sphérique progressive harmonique en fonction de la période T temporelle et de la période λ spatiale ? Et en fonction de ω et k ?

Answer 34

s(x;t) = S_M × cos(t×2π/T - r×2π/λ + φ)
= S_M × cos(ω×t - k×r + φ)

Question 35

Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ?

Answer 35

Question 36

Comment obtenir les expressions de f(t) et g(x) pour une onde stationnaire ? A partir de l’équation de D’Alembert ?

Answer 36

Question 37

Qu’est-ce que le coefficient de réflexion en amplitude ? Quelles sont ses deux expressions ?

Answer 37

Question 38

Comment traduire r=-1 ? Donner deux exemple pour lesquels r=-1

Answer 38

Question 39

Dans le cas r=-1, donner et justifier une expression de s(x;t)

Answer 39

Question 40

Donner deux exemples ou r=-1 et s(0;t)=0

Answer 40

• un tuyau acoustique ouvert des deux côtés
• une corde fixée des deux côtés

Question 41

Sachant que si r=1, s(x;t)=2A×sin(ωt-kl)×sin(k(x-l)), si de plus s(0;t)=0, déterminer l’expression des fréquences propres

Answer 41

*f_p = pc/2l

Question 42

Qu’est-ce qu’un fuseau dans un mode propre ?

Answer 42

C’est la distance entre deux noeuds

Question 43

Qu’est-ce qu’un noeud en vibration ?

Answer 43

C’est un point où s est constamment minimal (=0 en général)

Question 44

Comment trouver facilement les f_p dans le cas d’une onde stationnaire ? Lorsque r=-1 et s(0;t)=0

Answer 44

Question 45

A quoi est liée la hauteur d’un son ?

Answer 45

Elle est liée à la fréquence propre 1 : plus f1 est grande plus le son est dit «haut»

Question 46

A quoi est lié le timbre d’un son ?

Answer 46

Il est lié à sa forme (donc aux A_p, à la répartition des harmoniques).

Question 47

Lorsque r=1, qu’a-t-on en x=l ?

Answer 47

Un ventre car s=s+ + s-=2×s+

Question 48

Qu’appelle-t-on des «conditions aux limites impaires» ?

Answer 48

Lorsqu’il y’a un ventre et un noeud

Question 49

Qu’appelle-t-on des «conditions aux limites paires» ?

Answer 49

Lorsqu’il y a deux noeuds ou deux ventres

Question 50

Donner un exemple de conditions aux limites impaires

Answer 50

Le tuyau acoustique fermé/ouvert : on à une pression maximale en x=0, un ventre, et une pression nulle en x=l, un noeud

Question 51

Quelles sont les fréquences propres de vibration dans le cas de conditions aux limites impaires ?
Justif en prenant l’exemple de deux noeuds

Answer 51

f_p = c/λ = (p+1/2)*c/2l

r=1 et s(0;t)=0
Donc φ=0 et sin(k×l)=1
k×l=π/2 + pπ = π(1/2 + p), p€Z
Donc, l=(p+1/2)×π/k, et k=2π/λ
Donc, l=(p+1/2)×λ/2 ⇔ λ=2l/(p+1/2)
D’où f_p = c/λ = (p+1/2)*c/2l

Question 52

Qu’est-ce qu’un ventre en vibration ?

Answer 52

C’est un point où s est maximal, avec s le signal d’une onde stationnaire

Question 53

Au mode propre p, combien y a-t-il de fuseaux ?

Answer 53

Il y a p fuseaux

Question 54

Lorsqu’on a un signal de la forme s(x;t)=f(t)×sin(k×x + φ) et que s(0;t)=0, que peut-on dire ?

Answer 54

Il faut que sin(k×x + φ)=0, en x=0, c’est à dire sin(φ)=0 ⇔ φ ≡ 0 [π] ⇔ φ=0 car φ€]-π;π[

Question 55

Lorsqu’on a un signal de la forme s(x;t)=f(t)×sin(k×x) et que |s(x;t)| est maximal en x=l, que peut-on dire ?

Answer 55

On a s(k×l)=+/- 1, c’est-à-dire k×l= π/2 + pπ

Question 56

Lorsque les conditions aux limites sont paires, comment évolue la hauteur du son d’une corde en fonction de l ? Sachant que c=√(T/μ) dans une corde, T la tension et μ=m/l la masse linéique

Answer 56

f1=c/2l=1/2l × √(T/μ) = 1/2 × √(T/(m*l)), donc lorsque l diminue, f1 augmente et la hauteur augmente, l est donc corrélé négativement à la hauteur du son

Question 57

Lorsque les conditions aux limites sont paires, comment évolue la hauteur du son d’une corde en fonction de la température ? Sachant que c=√(T/μ) dans une corde, T la tension et μ=m/l la masse linéique

Answer 57

f1=c/2l=1/2l × √(T/μ) = 1/2 × √(T/m*l), or lorsque la température augmente, l augmente par dilatation, donc f1 diminue et la hauteur diminue, la température est corrélée négativement à la hauteur

Question 58

Lorsque les conditions aux limites sont paires, comment évolue la hauteur du son d’un tuyau acoustique d’un instrument à vent, en fonction de la température t ? Sachant que c=√(γ×R×t/M) dans un gaz

Answer 58

Question 59

Que détectent les capteurs de signaux ?

Answer 59

Il détectent son «énergie» : ξ=√(<s²>)

Question 60

A quelle condition sur les pulsations des deux signaux peut-il y avoir des interférences ? Justif

Answer 60

s1×s2 est un cosinus, sauf si ω1=ω2 (formules somme → produit), on observe donc des interférences ssi ω1=ω2

Question 61

Démontrer la formule de Fresnel

Answer 61

Juste écrire avant (s1 + s2)² et faire la valeur moyenne

Question 62

Comment transformer la formule de Fresnel si l’amplitude des deux signaux est la même ?

Answer 62

Question 63

En pratique comment obtient-on des interférences ? Et que vaut ΔΦ, en acoustique et en optique ?
Justif

Answer 63

Question 64

Qu’est-ce qu’une frange ?

Answer 64

C’est l’ensemble des points M tels que ξ(M) soit égale, c’est-à-dire ΔΦ(M) soit égale, c’est-à-dire δ(M) soit égale (en optique)

Question 65

Qu’est-ce que l’ordre d’interférence ?

Answer 65

Ça représente «combien de fois il se sont dephasés puis remis en phase»

Question 66

Qu’appelle-t-on frange brillante en optique ? (4 caractéristiques)

Answer 66

Question 67

Qu’appelle-t-on frange sombre en optique ? (4 caractéristiques)

Answer 67

Question 68

Comment représenter ξ en fonction de ΔΦ, δ, ou p ?

Answer 68

Question 69

Que valent ξ_min et ξ_max si s1 et s2 ont la même amplitude ?

Answer 69

Question 70

Qu’appelle-t-on contraste, quelle est sa valeur si s1 et s2 sont de même amplitude, si l’amplitude de s1«l’amplitude de s2, et quelle condition sur le contraste a-t-on pour pouvoir distinguer à l’œil nu les franges brillantes et les franges sombres ?

Answer 70

Question 71

Comment trouver la formule de Fresnel en passant en notation complexe ?

Answer 71

Question 72

Comment trouver la formule de Fresnel en passant en vecteur de Fresnel ?

Answer 72

Question 73

De manière générale, que sont les franges qu’on observe sur un écran parallèle à S1S2 ?

Answer 73

Ce sont des branches d’hyperboles

Question 74

Dans quel cas peut-on considérer que les franges qu’on observe sur un écran parallèle à S1S2 sont rectilignes ?

Answer 74

Si D»a, D»|X| et D»|Y|

Question 75

Comment varie la différence de marche lors du passage par la lentille ? Justif ?

Answer 75

La différence de marche ne varie pas, car la lentille on considère un aplanétisme pour la lentille

Question 76

Qu’observe-t-on comme franges sur un écran placé perpendiculairement à S1S2 dans des trous d’Young ?

Answer 76

Les franges sont des cercles concentriques de rayon R et de centre Ω

Question 77

Qu’est-ce que le théorème d’Al Kashi ?

Answer 77

Question 78

Que sont des signaux «synchrones» ?

Answer 78

Ce sont des signaux de même pulsation

Question 79

Que sont des sources «cohérentes» ?

Answer 79

Ce sont des sources qui émettent des signaux de même nature et de même pulsation

Question 80

Pour quelles valeurs de la différence de marche δ deux signaux font-ils des interférences constructives ? Destructives ?

Answer 80

Constructive : lorsque δ est un multiple de λ, la longueur d’onde, car les signaux sont «rephasés», ils se resuperposent

Destructive : lorsque δ est un multiple de λ, la longueur d’onde, +1/2λ car les signaux sont «redéphasés», leurs points hauts et points bas se resuperposent

Question 81

Qu’est-ce qu’un mode propre ?

Answer 81

C’est un modèle de vibration particulier où le signal est sinusoïdal de même fréquence en chaque point.

Question 82

Exprimer ΔΦ en fonction de k et δ

Answer 82

ΔΦ=k×δ

Question 83

Comment exprimer s(x;t) lorsqu’on connaît s(0;t) ?

Answer 83

On a s(x;t)=s(0;t’), t’ représente l’instant où à été émis l’onde, or l’onde se trouve à une distance x et possède une célérité c, donc elle s’est déplacée pendant un temps x/c, donc t’=t-x/c,
Donc s(x;t)=s(0;t-x/c)

Question 84

Quel est le domaine de validité de l’expression d’une onde au cours du temps ?

Answer 84

Il faut que |x|<c×t, c’est à dire qu’on s’intéresse à un x atteint à l’instant t

Question 85

Quelle est la distance entre deux noeuds de vibrations consécutifs d’une onde stationnaire ? En déduire la longueur d’onde au n-ième mode propre et la n-ième fréquence propre

Answer 85

λ/2 avec λ la longueur d’onde,

Donc, puisque la corde forme n fuseaux au n-ième mode propre, L=n×λ_n/2 ⇔ λ_n = 2L/n,

Donc, f_n = c / λ_n = n×c/2L

Question 86

Comment exprimer la n-ième fréquence propre en fonction de la première ?

Answer 86

On a : f_n = n×c/2L et donc f1= c/2L,
Donc, f_n = n×f1

Question 87

Comment vibrent deux points situés dans deux fuseaux voisins sur un mode propre ?

Answer 87

En opposition de phase

Question 88

Lorsqu’on passe d’une frange brillante à la suivante, de combien sont modifiées :
- la phase
- la différence de marche
- l’ordre d’interférence

Answer 88

• phase : +2π
• différence de marche : +λ
• ordre d’interférence : +1

Question 89

Comment calculer le rayon du k-ième anneau brillant à partir du centre (k-ième frange brillante sur un écran perpendiculaire aux trous d’Young) ? Sachant que p0 = p_max = a/λ et p_k = a/λ × (1 - R²_k/D²)

Answer 89

• Puisque p0=p_max, p_k = p0 - k
• Or, p_k = a/λ - a/λ × R²_k/2D²
• Donc, k = a/λ × R²_k/2D²
• D’où R_k = √(k) × R1, avec R1=D×√(2λ/a)

Question 90

Qu’est-ce que la fonction sinus cardinal ? Représenter sinc(x), |sinc(x)| et sinc²(x)

Answer 90

Question 91

Comment être à l’infini lorsqu’on observe une diffraction ?

Answer 91

On place une lentille sur le chemin de la diffraction et l’écran dans le plan focal image de la lentille

Question 92

Soit une fente de hauteur a et de longueur b, quelle est la condition sur b et sur a pour avoir un unique plan de diffraction ?

Answer 92

b»a

Question 93

Lorsqu’on éclaire une fente, quel est le motif diffracté ? Selon quel angle ?

Answer 93

Question 94

On fait passer un laser par photo, qu’observe-t-on sur un écran placé à l’infini (plan focal image d’une lentille mince convergente) ?
Quelle est la figure diffractée et selon quel angle ?

Answer 94

On appelle ce motif (tache principale) la tache d’Airy

Question 95

Que se passe-t-il si on fait passer deux rayons par des ouvertures très grandes devant la longueur d’onde ?

Answer 95

Il n’y a pas d’interférences car pas de diffraction.
C’est donc grâce à la diffraction qu’il peut y avoir des interférences

Question 96

Comment se comportent des trous d’Young ponctuels ?

Answer 96

Il diffractent de manière isotrope dans toutes les directions du demi-espace (plus loins que le plan des fentes).
Chaque trou se comporte donc comme s’il réemettait la lumière de la source primaire par diffraction, donc comme une source secondaire.

Question 97

Qu’est-ce qu’une interfrange ?

Answer 97

C’est la plus petite distance entre deux points d’un écran où l’éclairement est le même

Question 98

Quelle est la formule de l’interfrange ?

Answer 98

i=λ×D/a, pour D»a, avec a la distance entre les deux trous d’Young et D la distance à l’écran

Question 99

Les franges créées par des trous d’Young sont-elles localisées ?

Answer 99

Non

Question 100

Que signifie-t-il de dire que des franche sont localisées ?

Answer 100

On ne peut pas placer l’écran où on veut pour les observer

Question 101

Comment se comportent des trous d’Young circulaires dont le rayon est petit devant la distance qui les sépare, mais qui sont non ponctuels ?

Answer 101

Question 102

Lorsqu’on a deux phénomènes de diffraction identiques qui se superposent et créent ainsi des interférences, comment trace-t-on la figure sur l’écran ?

Answer 102

On trace d’abord la figure due au phénomène de diffraction, puis on ajoute les franges, dans la figure précédente

Question 103

Qu’est-ce qu’un champ d’interférence ?

Answer 103

C’est la zone de l’espace où il y a des interférences

Question 104

Tracer la figure sur l’écran, créée par des trous d’Young circulaires, espacés de a, et de rayon petits devant a mais non ponctuels
Que peut-on dire de l’éclairement ?

Answer 104

Question 105

Tracer la figure sur l’écran, créée par des fentes d’Young, espacées de a
Que peut-on dire de l’éclairement ?

Answer 105

Question 106

Qu’est-ce que la propriété du miroir tournant ?

Answer 106

Lorsqu’on incline le miroir d’un angle α, l’angle de réflexion augmente de 2α

Question 107

Quelle est la longueur d’un arc de cercle de rayon R et d’angle α ?

Answer 107

R×α

Question 108

Comment appelle-t-on les dispositifs type trou d’Young ?

Answer 108

On les appelle «diviseurs d’onde»

Question 109

Quels sont les avantage et inconvénient des diviseurs d’onde ?

Answer 109

Avantage :
- ils permettent d’avoir des franges non localisées

Inconvénient :
- la source doit être ponctuelle et monochromatique. Sinon il y a un brouillage des franges.

Question 110

En notation complexe, lorsqu’on ajoute un déphasage φ, comment cela se traduit-il ?

Answer 110

Cela se traduit par une multiplication par exp(iφ)

Question 111

Exprimer le retard t’ d’une onde par rapport à une autre, sachant qu’elles ont une différence de marche de δ et qu’elles vont à la célérité c ?

Answer 111

c=δ/t’, donc t’=δ/c

Question 112

Comment passe-t-on d’un octave au suivant ?

Answer 112

On multiplie par 2 la fréquence

Question 113

Pour deux trous d’Young espacés de a, à une distance D de l’écran, exprimer la différence de marche δ entre les rayons émis par les deux trous, en fonction de la hauteur x sur l’écran

Answer 113

δ = a.x/D

Question 114

Montrer que δ = a.x/D

Answer 114

δ = S2M - S1M,
Donc

Question 115

Donner en justifiant les abscisses des franges brillantes et des franges sombres

Answer 115

Question 116

Donner, en justifiant, l’expression de l’interfrange ?

Answer 116

Question 117

Comment mesurer la différence de fréquence entre deux signaux qui font des battements, disposant du graphique des battements ?

Answer 117

La fréquence de l’enveloppe est de Δf/2, donc on mesure la période et on en déduit Δf