Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal

Question 1

Liitfunktsiooni diferentseerimine

Answer 1

Kui f: X -> R on diferentseeruv punktis x€X, f(X) c Y ja g: Y -> R on diferentseeruv punktis y=f(x), siis h=gf: X->R on diferentseeruv punktis x ja

h’(x)= (gf)’(x) = g’(y)f’(x) = g’(f’(x))f’(x)

Question 2

Teist järku tuletis

Answer 2

Kui eksitseerib (f’)’(x), siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist järku tuletiseks punktis x, seega

(f’)’(x) = lim /deltax -> 0/ ((f’(x+deltax) -f’(x)) / deltax

Funktsiooni f teist järku tuletist tähistatakse sümbolitega f’’, d^2f/dx^2

Question 3

Joone puutuja punktis

Answer 3

Joone puutujaks punktis A nimetatakse sirget, mis on lõikaja AB piirseisuks, kui punkt B läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Funktsiooni f tuletis f’(x0) on selle joone puutuja tõus punktis (x0, f(x0)) ja puutuja võrrand avaldub järgmiselt:

y=f(x0) + f ‘ (x0)(x-x0)

Question 4

Joone normaal

Answer 4

Joone y=f(x) normaaliks (ehk ristsirgeks) punktis (x0, f(x0)) nimetatakse sirget, mis ristub seda punkti läbiva puutujaga. Joone y=f(x) normaali võrrand avaldub järgmiselt:

y=f(x0) - 1/f’(x0) * (x-x0)

Question 5

Funktsiooni diferentsiaal

Answer 5

Olgu antud punktis x diferentseeruv funktsioon f. Anname argumendile x muudu deltax. Korrutist
f’(x)deltax
nimetatakse funktsiooni f diferentsiaaliks punktis x. Tähistame dy või df(x), seega
dy= f’(x)deltax

Question 6

Funktsiooni muudu leidmine diferentsiaali abil

Answer 6

Kui deltax on küllalt väike, võime funktsiooni f muudu deltaf asemel leida funktsiooni f diferentsiaali df,

deltaf ~ df

Question 7

Funktsiooni uue väärtuse leidmine ligikaudselt diferentsiaali abil

Answer 7

f(x + deltax) ~ f(x) + f’(x)deltax

Question 8

Funktsiooni tuletis punktis

Answer 8

Kui eksisteerib lõplik piirväärtus

lim(deltax -> 0) deltaf/deltax = lim (deltax ->0) (f(a+deltax)-f(a))/deltax = lim (x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)

Siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f tuletiseks punktis a. Tähistatakse f’(a).

Question 9

Lõpmatu tuletis

Answer 9

Kui eksisteerib

lim(deltax->0) (f(x+deltax) - f(x))/deltax = lopmatus

või

lim(deltax->0) (f(x+deltax) - f(x))/deltax = -lopmatus

Siis öeldakse et funktsioonil f on punktis x lõpmatu tuletis.

Question 10

Punktis diferentseeruva funktsiooni pidevus

Answer 10

Punktis lõplikku tuletist omav funktsioon on pidev selles punktis

Question 11

Diferentseerimine

Answer 11

Funktsiooni f tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni f diferentseerimiseks. Matemaatilise analüüsi osa, mis käsitleb tuletise leidmise reegleid, omadusi ja rakendusi, nimetatakse diferentsiaalarvutusteks.

Question 12

Diferentseeruv funktsioon

Answer 12

Me nimetame funktsiooni diferentseeruvaks punktis x, kui leidub tuletis f’(x)

Question 13

Tehetega seotud diferentseerimise reeglid

Answer 13

Kui funktsioonidel u=u(x) ja v=v(x) eksisteerivad tuletised punktis x, siis ka funktsioonidel u+v, u-v, uv ja u/v eksisteerivad tuletised punktis x, kusjuures

(u+-v)’=u’+- v’
(uv)’ = u’v+v’u
(cu)’=cu’ (c=const)
(u/v)’=(u’v-v’u)/v^2