Piirväärtus, pidevus

Question 1

Funktsiooni piirväärtuse definitsioon

Answer 1

Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt. Reaalarvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a ja kirjutatakse:

lim(x->a) f(x)= A

kui punktile a piisavalt lähedastes määramispiirkonna X punktides x (v.a vb punktis a eneses) erinevad vastavad funktsiooni väärtused f(x) arvust A kuitahes vähe.

Question 2

Funktsiooni lõpmatu piirväärtuse definitsioon

Answer 2

Öeldakse, et funktsioonil f on piirväärtus ∞ protsessis x ->a, a€R, kui argumendi x lähenemine arvule a toob kaasa f(x) tõkestamatu kasvamise. Sel juhul kirjutame:

lim(x->a) f(x)= ∞

Kui aga protsessis x ->a toimub f(x) tõkestamatu kahanemine, siis ütleme, et funktsioonil f on selles protsessis piirväärtus -∞ ja kirjutame

lim(x->a) f(x)= -∞

Question 3

Teoreem funktsiooni piirväärtuse eksisteerimisest

Answer 3

Kui eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused lim(x->a+) f(x) ja lim(x->a-) f(x), siis (nn. kahepoolne) piirväärtus lim (x->a) f(x)=A eksisteerib parajasti siis, kui

lim(x->a+) f(x)=lim(x->a-) f(x)= A

Question 4

Teoreem piirväärtuse ühesusest

Answer 4

Vaadeldavas protsessis (kas ühe- või kahepoolses) saab funktsioonil olla ainult 1 piirväärtus

Question 5

Teoreem: piirväärtus tõkestatud funktsiooni korrutisest funktsiooniga, mille piirväärtus on 0

Answer 5

Kui funktsioon f on tõkestatud punkti a mingis ümbruses ja
lim(x->a) g(x)=0, siis

lim(x->a) (f(x)g(x))=0

Question 6

Tehetega seotud piirväärtuse omadused

Answer 6

Kui on olemas lõplikud piirväärtused
lim(x->a) f(x)=A ja lim(x->a) g(x)=B
siis kehtivad järgmised tehetega seotud omadused:

1. lim(x->a) (f(x)±g(x))= A±B
2. lim(x->a) (cf(x)= cA , c€R
3. lim(x->a) (f(x)g(x))=AB
   4.lim(x->a) (f(x) / g(x))= A/B, kui B ei võrdu 0

Question 7

Teoreem kahepoolse tõkke omadusest (sandwich teoreem)

Answer 7

Kui kehtivad võrratused
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), x€ (a-δ;a)U(a;a + δ)
ja on olemas lõplikud piirväärtused
lim(x->a) f(x)= lim(x->a)h(x)= A,
siis on olemas ka piirväärtus lim(x->a)g(x) ning
lim(x->a) g(x)=A

Question 8

Teoreem elementaarfunktsioonide piirväärtustest

Answer 8

Kui f on elementaarfunktsioon ja punkt a kuulub tema määramispiirkonda, siis

lim(x->a) f(x)=f(a)

Question 9

Teoreem sinx/x piirväärtuse kohta

Answer 9

lim(x ->0) sinx/x=1

Question 10

Lause n sqrt n piirväärtuse kohta

Answer 10

lim (n -> ∞) n sqrt n =1

Question 11

Definitsioon funktsiooni pidevuse kohta

Answer 11

Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui

lim(x->a) f(x) = f(a)

Question 12

Definitsioon funktsiooni f pidevuse kohta hulgal X

Answer 12

Ütleme, et funktsioon on pidev hulgal X, kui f on pidev selle hulga igas punktis. Kui X=R, siis ütleme, et funktsioon f on pidev kõikjal.

Question 13

Märkus funktsiooni pidevuse tingimuste kohta

Answer 13

1. funktsioonil on olemas väärtus f(a)
2. funktsioonil on olemas piirväärtus lim f(x) protsessis x->a
3. lim(x->a) f(x) = f(a)

Kui funktsioon ei ole pidev punktis a, kuid on määratud tema ümbruses, siis öeldakse, et funktsioon on katkev punktis a (punkt a on funktsiooni katkevuspunkt). Katkevuspunktist räägitakse ka siis, kui funktsioon f ei ole määratud punktis a, kuid eksisteerib lim(x->a) f(x).

Question 14

Lause tehetega seotud pidevuse omadustest

Answer 14

Olgu f ja g pidevad funktsioonid punktis x=a, siis ka
f(x)±g(x), f(x)g(x)
ja
f(x)/g(x), kui g(a) ei ole 0
on pidevad funktsioonid punktis x=a

Question 15

Teoreem elementaarfunktsioonide pidevuse kohta

Answer 15

Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas