Pöördmaatriks Ja Lineaarvõrrandisüsteemid Flashcards
(26 cards)
Ühikmaatriks
Ruutmaatriksit E nimetatakse (n-järku) ühikmaatriksiks, kui tema peadiagonaali elemendid võrduvad ühega ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga.
E=(1 0 0
0 1 0
0 0 1)
Pöördmaatriks
Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit A^-1, millega antud maatriksit A korrutades saadakse ühikmaatriks E, s.t
AA^-1=E
Pöördmaatriksiga korrutamise kommutatiivsus
Maatriksi korrutamine pöördmaatriksiga on kommutatiivne
AA^-1=A^-1A
Maatriksi A pöördmaatriks, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud
Kahe maatriksi korrutise pöördmaatriks
Olgu A ja B sama järku ruutmaatriksid, millel leiduvad pöördmaatriksid. Siis kehtib võrdus
(AB)^-1=B^-1A^-1
Tõestus:
(AB)(B^-1A^-1) = A(B(B^-1A^-1)) = A((BB^-1)A^-1) = A(EA^-1) = AA^-1 =E
Gauss-Jordani meetod
Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis saab selle leida Gauss-Jordani meetodiga, teisendades maatriksi A (ridade elementaarteisenduste abil) ühikmaatriksiks E ja ühikmaatriksi pöördmaatriksiks A^-1
(A|E) = (E|A^-1)
Maatriksi ridade elementaarteisendused
Maatriksi ridade elementaarteisendusteks nimetatakse üleminekut maatriksilt uuele maatriksile järgmiste reeglite abil:
1.Maatriksi kahe rea ära vahetamine
2.Maatriksi rea korrutamine nullist erineva arvuga
3.Maatriksi reale mingi arvuga korrutatud mingi teise rea liitmine
Regulaarne, singulaarne maatriks
Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastasel juhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks
Pöördmaatriksi eksisteerimine
Maatriksil eksisteerib parajasti pöördmaatriks siis, kui maatriks on regulaarne
Maatriksi elemendi alamdeterminant
Elemendi a(i,j) alamdeterminandiks A(i,j) nimetatakse sellele elemendile vastava miinori M(i,j) korrutist teguriga (-1)^i+j, s.t
A(i,j)= (-1)^(i+j)*M(i,j)
Pöördmaatriksi arvutusvalem
Kui ruutmaatriks A=(a(i,j)) on regulaarne, s.o kui |A|ei võrdu 0, siis maatriksil A on olemas pöördmaatriks A^-1, mis on leitav valemiga
A^-1=1/|A| * (A11 … A1n)^T
(…. … … )
(An1 … Ann)
Kus A(i,j) on maatriksi A determinandi |A| elemendile a(i,j) vastav aladeterminant
Maatriksi k-järku miinor
Valime maatriksiks A suvaliselt k rida ja k veergu, kus k<vordne m ja k<vordne n. Moodustame nendes ridades ja veergudes olevatest elementidest maatriksi, säilitades ridade ja veergude järjestuse. Selle maatriksi determinanti nimetatakse maatriksi A k-järku miinoriks.
Maatriksi astak
Maatriksi A astakuks nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku, seejuures nullmaatriksi astakuks loetakse arv 0. Tähistatakse rankA, rank(A) või r(A)
Maatriksi astaku leidmine elementaarteisenduste abil
Efektiivsem viis maatriksi astaku leidmiseks on kasutada maatriksi ridade elementaarteisendusi, eesmärgiga teisendada maatriksis kõik elemendid ühele poole peadiagonaali nullideks.
Elementaarteisendusi kasutades maatriksi astak ei muutu.
Lineaarvõrrandisüsteem
Võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks, kuna tundmatud x1,…,xn esinevad ainult esimeses astmes. Etteantud arvud a(i,j), zi=1…m, j=1…n, on võrrandisüsteemi kordajad, ja b(i,) i=1…m, on võrrandisüsteemi vabaliikmed
Süsteemi lahend
Süsteemi lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1,…,xn väärtuste komplekti, mille korral on rahuldatud kõik süsteemi võrrandid
Vastuoluline süsteem
Süsteemi, millel lahend puudub, nimetatakse vastuoluliseks
Võimalike lahendite arv
Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust (ning kordajatest) võib süsteemil olla üksainus lahend, mitte ühtegi lahendit või lõpmata palju lahendeid
Süsteemi maatriks, maatrikskuju
Süsteemi kordajatest moodustatud maatriksit
A=(a11 … a1n)
(…. … …. )
(am1 … amn)
nimetatakse selle süsteemi maatriksiks. Veeruvektoreid
x=(x1). ja b=(b1)
(…). (…)
(xn). (bn)
nimetatakse vastavalt tundmatute ja vabaliikmete vektoriks.
Süsteem on esitatav maatrikskujul
Ax=b
Kronecker-Capelli teoreem
Süsteem on lahenduv (s.t omab vähemalt ühte lahendit) siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi A astak rankA võrdub laiendatud maatriksi
L=(A|b)
astakuga rank L. Teisiti öeldes, süsteem on lahenduv parajasti siis, kui
rankA=rankL
Gaussi elimineerimismeetod
Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem
Ax=b
1. Võrrandisüsteem esitatakse laiendatud maatriksina
(A|b) = (a11 … a1n | b1)
(…. … … | …)
(am1 … amn|bm)
- Laiendatud maatriks (A|b) teisendatakse ridade elementaarteisenduste abil kolmnurksele kujule, s.t maatriksi A peadiagonaalist allpool (või ülalpool) olevad elemendid teisendatakse nullideks
LVsüsteemi üldlahend
Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks nimetatakse lõplikust arvust parameetritest sõltuvat lahendite kogumit, millest parameetritele suvalisi reaalarvulisi väärtusi omistades saadakse kõik süsteemi lahendid. Tundmatuid, mis on valitud parameetriteks, nimetatakse vabadeks tundmatuteks
LVsüsteemi erilahend
Lineaarvõrrandisüsteemi erilahendiks nimetatakse sellist lahendit, mis saadakse üldlahendist vabadele parameetritele (tundmatutele) konkreetsete arvuliste väärtuste andmise teel
Lahendite arv sõltuvalt astakust, tundmatute arvust ja võrrandite arvust
Lineaarvõrrandisüsteemil Ax=b leidub lahend, kui kehtib rankA=rankL=r, kus L=(A|b). Lahendite arv sõltub tundmatute arvust n, astakust r ja võrrandite arvust m.
- r=n korral on süsteemil täpselt 1 lahend
r=n=m korral on Crameri peajuht r=n<m korral m-n võrrandit üleliigsed (võrrandeid tundmatutest rohkem)
2.r<n korral on süsteemil lõpmata palju lahendeid, n-r vaba parameetrit (tundmatut)
r<m<vordne n korral on astak väiksem võrrandite ja tundmatute arvust, r=m<n korral on võrrandeid tundmatutest vähem
Homogeenne LVsüsteem
Lineaarvõrrandisüsteemi
Ax=b
nimetatakse homogeenseks, kui kõigi tema võrrandite vabaliikmed võrduvad nulliga, s.t kui b on nullvektor: b=0. Vastasel korral nimetatakse võrrandisüsteemi mittehomogeenseks.
