Funktsiooni Uurimine Flashcards
(11 cards)
L’Hospitali reegel
Kui mingis protsessis x -> a (siin a € R U (-lopmatus; lopmatus)
lim f(x)=lim g(x)= 0 või lim |f(x)|=lim |g(x)|= lõpmatus
ja eksisteerib (lõplik või lõpmatu) piirväärtus
lim f’(x)/g’(x) = A
siis selles protsessis kehtib võrdus
lim f(x)/g(x) = A
Kasvav ja kahanev funktsioon hulgas X
Funktsiooni f: X -> R nimetatakse kasvavaks hulgas X, kui suvaliste x1, x2 € X korral, kus x1<x2, kehtib f(x1)<f(x2). Kui aga x1<x2 korral f(x1)>f(x2), siis räägitakse kahanevast funktsioonist
Kasvav ja kahanev funktsioon vahemikus (a,b)
Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f’(x)>0 iga argumendi väärtuse x€ (a,b) korral, siis funktsioon f on kasvav selles vahemikus, ja kui f’(x)<0 iga argumendi väärtuse x€(a,b) korral, siis funktsioon f on kahanev selles vahemikus
Funktsiooni lokaalne maksimum ja miinimum
Öeldakse, et funktsioonil f:X->R X C R, on punktis (kohal) a€X lokaalne maksimum, kui leidub selle punkti ümbrus (a-delta, a+delta), delta>0 nii, et
f(x)<vordne f(a), iga x€X yhend (a-delta, a+delta) korral
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis (kohal) a lokaalne miinimum, kui leidub selle punkti ümbrus (a-delta, a+delta), delta>0 nii, et
f(x)>vordne f(a), iga x€X yhend (a-delta, a+delta) korral
Funktsiooni kriitilised punktid
Määramispiirkonna punkte, kus f’(x)=0, ja punkte, kus funktsioon f ei ole diferentseeruv, nimetatakse funktsiooni f kriitilisteks punktideks
Tingimused funktsiooni lokaalsete ekstreemumite olemasoluks
Olgu funktsioon 2 korda diferentseeruv punktis c. Siis funktsioonil f on argumendi väärtustel c lokaalne maksimum, kui
f’(c)=0 ja f’’(c)<0
ja funktsioonil f on argumendi väärtusel c lokaalne miinimum, kui
f’(c)=0 ja f’’(c)>0
Lokaalse ekstreemumi liik tuletise märgimuudu kaudu
Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikes (a-delta,a) ja (a,a+delta) mingi delta<0 korral ning pidev kriitilises punktis a. Siis kehtivad väited:
1.Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f’(x) märk muutub + -> - siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum (f kasvamine läheb ule kahanemiseks)
- Kui punkti a läbimisel f’(x) märk muutub - -> +, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum ( f kahanemine laheb yle kasvamiseks)
- Kui punkti a läbimisel f’(x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole
Funktsiooni globaalsed ekstreemumid, nende leidmine
Peale lokaalsete ekstreemumite eristame veel globaalseid ekstreemumeid (funktsiooni suurim või vähim väärtus mingis piirkonnas).
Viimaste leidmiseks võib leida kõik lokaalsed ekstreemumid, kusjuures eraldi tuleb arvutada funktsiooni väärtused punktides, kus tuletist ei ole, nt piirkonna otspunktides (kui tegemist on lõiguga). Saadud suurim või vähim väärtus ongi funktsiooni globaalseks ekstreemumiks. Kui ei ole eraldi rõhutatud, siis mõistame ekstreemumite all kõiki lokaalseid ja globaalseid ekstreemume.
Funktsiooni graafiku kumerus, nõgusus
Funktsiooni f: (a,b) -> R nimetatakse kumeraks vahemikus (a,b) kui igas punktis x€(a,b) funktsiooni f puutuja asub ülalpool graafikut
Funktsiooni f: (a,b) -> R nimetatakse nõgusaks vahemikus (a,b), kui igas punktis x€(a,b) funktsiooni f puutuja asub allpool graafikut
Tingimused funktsiooni kumeruseks, nõgususeks vahemikus
Olgu funktsioon f 2 korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f’’(x)<0 iga x€ (a,b) korral, siis f on kumer selles vahemikus. Kui f’’(x)>0 iga x€(a,b) korral, siis f on nõgus selles vahemikus
Funktsiooni graafiku käänupunkt
Olgu funktsioon f diferentseeruv vähemalt vahemikes (a,c) ja (c,b) ning pidev punktis c. Kui funktsioon f on kumer vahemikus (a,c) ja nõgus vahemikus (c,b), siis punkti c nimetatakse käänupunktiks.
