Maatriksid Ja Determinandid Flashcards
(14 cards)
Maatriks
Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…. …. …. ….
am1 am2 … amn
Kus arve a(ij) nimetatakse maatriksi elementideks i=1,…,m ja j=1,…n. Sellisel juhul räägitakse m x n maatriksist.
Ruutmaatriks, reamaatriks/reavektor, veerumaatriks/veeruvektor
Kui maatriksi ridade ja veergude arv on võrdne, m=n, siis nimetame maatriksit ruutmaatriksiks.
Kui maatriksis on ainult üks rida või veerg, siis nimetame seda maatriksit ka vektoriks, täpsemalt reavektoriks ja veeruvektoriks. Üldine m x n maatriks koosneb m reavektorist ja n veeruvektorist
Maatriksite võrdsus
Maatrikseid A ja B nimetatakse võrdseteks, kui neil on võrdne ridade arv, võrdne veergude arv ja kõik vastavatel kohtadel olevad elemendid on võrdsed, s.t
A=B, kui a(ij)=b(ij), iga i=1,…m ja j=1,…n korral
Maatriksite summa
Kui maatriksid A ja B on mõlemad m x n maatriksid, siis A ja B summaks nimetatakse m x n maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide summad, s.t
C=A+B, kui c(ij)=a(ij)+b(ij), i=1,…m, j=1,..n
Maatriksite vahe
Kui maatriksid A ja B on mõlemad m x n maatriksid, siis A ja B vaheks nimetatakse m x n maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide vahed, s.t
C=A-B, kui c(ij)=a(ij)-b(ij), i=1,…m , j=1,..n
Maatriksi korrutis skalaariga
Maatriksi A korrutiseks skalaariga ehk arvuga lambda nimetatakse maatriksit lambdaA=B, mille elemendid saadakse maatriksi A kõigi elementide korrutamisel arvuga lambda, s.t
lambdaA=B=(b(i,j)), kui b(ij)=lambdaa(ij), i=1,…m j=1,…n
Maatrikstehete omadused
Olgu maatriksid A,B,C ja nullmaatriks O kõik samade mõõtmetega maatriksid ning lambda€R. Sel juhul maatrikstehete jaoks kehtivad järgmised omadused:
A+(B+C) = (A+B)+C (liitmise assotsiatiivsus)
A+B = B+A (liitmise kommutatiivsus)
lambda(A+B)=lambdaA + lambdaB
A+O=A
Nullmaatriks
Nullmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid võrduvad nulliga, s.t
O= 0 0 … 0
… … … …
0 0 … 0
o(ij)=0, i=1,…m ja j=1,…n
Transponeeritud maatriks
Maatriksi A=(a(ij)), (i=1,…m, j=1,…n) transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit A^T, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel, s.t
A^T=(a(ij)), i=1,…m, j=1,…n
Transponeeritud maatriksite jaoks kehtivad omadused
Olgu maatriksid A ja B samade mõõtmetega maatriksid ning lambda€R. Sel juhul transponeeritud maatriksite jaoks kehtivad järgmised omadused:
(A^T)^T=A
(A+B)^T=A^T + B^T
(lambdaA)^T = lambdaA^T
Maatriksite korrutis
Kui maatriksi A veergude arv võrdub maatriksi B ridade arvuga, siis maatriksite A ja B korrutiseks AB nimetatakse maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru elemendi c(ij) saamiseks korrutatakse maatriksi A i-nda rea elemendid maatriksi B j-nda veeru vastavate elementidega ning saadud korrutised liidetakse, s.t
C=AB, c(ij)=a(i1)b(1j) + a(i2)b(2j) + … + a(in)b(nj),
kus i=1,…m j=1,…p, A on m x n maatriks ja B on n x p maatriks
Maatriksite korrutamise mittekommutatiivsus
Maatriksite korrutised AB ja BA annavad erineva tulemuse. Selle kohta öeldakse, et maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne ehk üldjuhul (ka ruutmaatriksite korral)
AB ei võrdu BA
Maatriksite korrutamise omadused
Olgu maatriksid A,B,C ja nullmaatriks O selliste mõõtmetega, et allpool toodud iga üksik tehe on teostatav. Siis maatriksite korrutamisel on järgmised omadused:
(AB)C=A(BC)
(A+B)C=AC+BC
lambda(AB)=(lambdaA)B=A(lambdaB)
(AB)^T=B^T A^T
AO=O
OA=O
Ruutmaatriksi elemendile vastav miinor
Ruutmaatriksi A elemendile a(ij) vastavaks miinoriks nimetatakse determinanti M(ij), mis saadakse kui maatriksi A determinandis jätta välja elementi a(ij) läbiv rida ja veerg
