Geometria analitica nello spazio

Question 1

Come si definisce l’operazione di somma tra vettori in R3?

Answer 1

Con la regola del parallelogramma

Question 2

Come si definisce il prodotto scalare tra due vettori?

Answer 2

Siano u,v app. R.
Si pone uv:=|v||u|cos(alfa)
dove, posto ad esempio u=(u1, u2, u3), si è posto che |u|=rad(somma delle componenti al quadrato)
Il prodotto appena definito gode delle seguenti proprietà, per ogni u, w, v app. R3, per ogni lambda app. R
1)COMMUTATIVA: uv = vu
2)DISTRIBUTIVA: u(v+w)=uv + uw
3)ASSOCIATIVA: (lambdau)v=lambda(uv)
4)MODULO: uu =|u|^2

Si dimostra inoltre che u*v=somma dei prodotti delle componenti

Question 3

Come si definisce il prodotto vettoriale?

Answer 3

Siano u,v app. R3.
Il loro prodotto vettoriale, indicato con u x v è il vettore che soddisfa le seguenti proprietà:
1) MODULO: |u x v| = |u||v|sin(alfa)
2) DIREZIONE: u x v è ortogonale al piano che contiene u e v
3) VERSO: u, v, u x v formano una terza destrorsa di vettori

Valgono le seguenti proprietà: per ogni u, v, w, app. R3, per ogni lambda app. R
1)ANTISIMMETRIA: u x v = -(v x u)
2)DISTRIBUTIVA: u x (v + w) = u x v + u x w
3)ASSOCIATIVA: (lambdau) x v = lambda(u x v)

Question 4

Quali sono le proprietà geometriche del prodotto vettoriale?

Answer 4

1) il modulo del prodotto corrisponde all’area del parallelogramma formato dai due vettori in punta-coda
2)Se 2 vettori u,w,v non sono complanari e sono applicati nello stesso punto, il prodotto misto tra i tre, ovvero u*(v x w), coincide con l’area del parallelepipedo formato dai tre in punta coda

Question 5

Come si scrive il prodotto vettoriale in termini di componenti cartesiane?

Answer 5

Vedi appunti.

Question 6

Come si scrive l’equazione parametrica di una retta in R3?

Answer 6

• Considero un punto P0 della retta
• considero un vettore v che sia parallelo alla retta ma fissato nell’origine: questo viene detto “vettore direzione” della retta
• un generico punto appartenente alla retta ha equazione P = P0 + tv con t app. R opportuno
  Si scrive quindi la rappresentazione parametrica della retta, in componenti

Question 7

Come si scrive l’equazione cartesiana di una retta in R3?

Answer 7

Si consideri la rappresentazione cartesiana di una retta: si ricavi t da ognuna delle equazioni del sistema e si eguaglino le 3 espressioni ottenute: si trova così l’equazione cartesiana della retta.

Question 8

Come si identifica una retta assegnando 2 punti distinti che vi appartengono?

Answer 8

• Si identifica il vettore direzione della retta ponendo v:=P1 - P0
  Si scrive la retta in forma parametrica.

Question 9

Quando due rette sono parallele?

Answer 9

Due rette sono parallele quando i loro due vettori direzione sono proporzionali, ovvero esiste lambda diverso da 0 : (a,b,c)=lambda(alfa, beta, gamma)
Inoltre, il loro prodotto vettoriale è nullo.

Question 10

Quando due rette sono perpendicolari?

Answer 10

Dico che due rette in R3 sono perpendicolari se detti v1 e v2 i loro vettori direzione questi sono perpendicolari, ovvero:
v1 * v2 = 0
Le rette così definite non sono necessariamente incidenti: devo quindi specificarlo.

Question 11

Quando due rette sono incidenti?

Answer 11

r1 e r2 si intersecano se e solo se esistono t,s app. R t.c. (uguaglanza delle forme parametriche)

Question 12

Come si individua l’equazione di un piano in R3 assegnando un suo punto P0 e un vettore n perpendicolare a tale piano?

Answer 12

Individuo un piano pigreco, un punto P0 appartenente al piano, il vettore n perpendicolare al piano.
Un generico punto P appartiene al piano pigreco se e solo se (P-P0)n=0
Scriviamo tale condizione in forma analitica:
- Siano P = (x,y,z), P0 =(x0, y0, z0), n=(a, b, c)
- deve valere che (P - P0)n = 0 e ciò accade se e solo se (x - x0)a + (y - y0)b + (z - z0)c = 0 cioè ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
- Dunque l’equazione generale di un piano in forma cartesiana è: ax + by + cz = d con d sopra definito.
- n:=(a,b,c) è un vettore normale al piano considerato e d = n*P0 per un opportuno P0 app. pigreco.

Question 13

Come si individua un piano assegnando 3 punti non allineati ad esso appartenenti?

Answer 13

Siano P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) punti assegnati
- si definiscono v1:= p0 - P1 e v2:=P2 - P1
- per ipotesi v1 e v2 non sono paralleli, dal momenti che P0, P1 e P2 non sono allineati
- definiscono n:= v1 x v2 , vettore perpendicolare al piano assegnato
- si procede avendo il vettore normale al piano

Question 14

Come individuare un piano assegnando 2 rette appartenenti ad esso e tra loro incidenti?

Answer 14

• Siano le due rette r1 e r2 non parallele scritte in formula parametrica e sia P0 l’unico punto di intersezione di tali rette.
• allora un vettore normale al piano delle due rette è dato da n:= v1 x v2

Question 15

E’ possibile usare l’equazione di due piani non paralleli per individuare una retta?

Answer 15

Si: una retta può essere individuata come intersezione di piani non paralleli, cioè come sistema.
Il vettore direzione della retta sarà n:= n1 x n2

Question 16

Quando due piani sono paralleli?

Answer 16

Due piani sono paralleli quando i due vettori normali ai piani considerati sono proporzionali, ovvero paralleli, ovvero esiste lambda app. R t.c. (a,b,c)=lambda(alfa, beta, gamma), ovvero n1 x n2 = 0

Question 17

Quando due piani sono perpendicolari?

Answer 17

Due piani sono paralleli quando i due vettori normali ai piani considerati sono perpendicolari, ovvero v1 * v2 = 0

Question 18

Come si definisce lo spazio euclideo n-dimensionale?

Answer 18

Rn := {(x1, x2, x3, x4,…,xn), x1, x2, x3, … , xn app. R} e le n-uple si intendono ordinate.
Gli elementi di Rn si indiano con il simbolo dei vettori.

Question 19

Quali operazioni sono definite su Rn?

Answer 19

Se v=(v1,v2,v3, …, vn), w=(w1, w2, … , wn), lambda app. R, si pone:
- v + w := (v1+w1, … , vn + wn) detta SOMMA DI VETTORI
- lambdav = (lambdav1, … , lambda*vn) detta MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE

Question 20

Quali proprietà valgono su Rn?

Answer 20

per ogni u, v, w app. Rn, per ogni lambda,n app. R
1) ASSOCIATIVA: u + (v + w) = (u + v) + w
2)COMMUTATIVA: u+v = v + u
3) esiste un elemento app. Rn, indicato con zerovettore, t.c. v + zerovettore = v
4) per ogni v app. Rn esiste un elemento di Rn indicato con -v t.c. v + (-v) =0
5) ELEMENTO NEUTRO DEL PRODOTTO: 1vettore * v = v
6) lambda(uv) = (lambdau)v
7) lambda(u + v) = lambdav + lambdau
8) (lambda + u)v = lambdav + uv

Question 21

Come è definito uno spazio vettoriale in Rn?

Answer 21

Sia V un insieme.
Dico che V è uno spazio vettoriale su R (risp. su C) se sono definite
- un’operazione detta SOMMA che associa a u,v app. V un altro elemento di V indicato con u+v
-un’operazione detta PRODOTTO di un vettore e di uno scalare, ndicata con lambdav che associa a v app. V, lambda app. R (risp. C), un altro elemento di V indicato con lambdav

Si richiede inoltre che valgano le seguenti proprietà: per ogni u,v,w app. V, per ogni lambda, n app. R
1) (u+v) + w = u + (v+w)
2) u + v = v + u
3) esiste un elemento di V indicato con zerovettore t.c. v + zerovettore = v
4) per ogni u app. V, esiste un elemento di V indicato con -u t.c. u+ (-u) = 0
5) 1vettore * u = u
6)lambda(u + v) = lambdau + lambdav
7)lambda(uv)=(lambdau)v
8)(lambda + u)v =lambdav + u*v

Gli elementi di uno spazio vettoriale vengono detti vettori.
Rn è uno spazio vettoriale.
Si mostra che anche Cn è uno spazio vettoriale.

Question 22

Come è definito un sottospazio di uno spazio vettoriale?

Answer 22

Sia V spazio vettoriale su R (o su C)
Dico che W contenuto o coincidente con V è un SOTTOSPAZIO di V se W è a sua volta uno spazio vettoriale su R, cioè se
per ogni u,v app. W, per ogni lambda,n app. R (o a C) vale che lambdau + nv app.W

Question 23

Quando due vettori sono tra loro linearmente dipendenti o indipendenti?

Answer 23

Sia V spazio vettoriale su K (K coinc. R oppure K coinc. con C) e siano lambda1, … , lambdan elementi di questo K.
Siano poi v1, …, vn app. V. La combinazione lineare di v1, … , vn con coefficienti lambda1, … , lambdan è il vettore lambda1v1, … , lambdanvn
Dico che v1, … , vn sono tra loro linearmente dipendenti se esistono lambda1, … , lambdan non tutti nulli t.c. lambda1v1 + … + lambdanvn = 0
Dico invece che v1, … , vn sono tra loro linearmente indipendenti se, al contrario, lambda1v1 + … + lambdanvn = 0 se e solo se lambda1 = … = lambdan = 0, ovvero l’unica combinazione possibile è quella con coefficienti nulli

Question 24

Come è definita la base di uno spazio vettoriale?

Answer 24

Dico che v1, … , vn app. V sono una base di V se:
1) v1, … , vn sono tra loro vettori linearmente indipendenti
2) per ogni v app. V esistono lambda1, … , lambdan app. K t.c. v = lambda1v1 + … + lambdanvn

Question 25

Teorema sulla base di uno spazio vettoriale.

Answer 25

Sia V spazio vettoriale e siano v1, … , vn app. V una base di V, composta da n vettori.
Allora ogni base di V è composta da n vettori.
Se V spazio vettoriale ammette una base composta da n elementi, allora l’intero n viene detto dimensione di V.
Esistono spazi vettoriali che non ammettono alcuna base nel senso precedente.

Question 26

Come è definito uno spazio vettoriale con prodotto scalare?

Answer 26

Sia V uno spazio vettoriale reale.
Si assuma definita un’operazione che a coppie di vettori v,w app. V associa un numero reale indicato con vw app. R
Si assuma che valgano le seguenti proprietà:
1) vw=wv
2)u(v+w)=uv + uw
3)(lambdav)w = lambda(vw)
4)vv >= 0 per ogni v app. V, e inoltre v*v = 0 se e solo se v = 0

Question 27

Proprietà del modulo di un vettore. Enunciato.

Answer 27

Sia V spazio vettoriale con prodotto scalare.
Si definisca |v| := rad(vv)
Valgono allora le seguenti proprietà:
- |v|>=0 , per ogni v app. V e |v|=0 se e solo se v=0
- |lambdav| =|lambda||v|
- |uv|<=|u|*|v|
- |u + v| <= |u| + |v|

Question 28

Dimostrazione della Disuguaglanza di Cauchy-Schwartz.

Answer 28

Vedi appunti.

Question 29

Come è definita una base ortonormale?

Answer 29

Sia V spazio vettoriale con prodotto scalare.
Si assuma che v1, … , vn app. V siano una base di V.
Dico che tale base è ortonormale se vi*vj=0 per ogni i!=j
e inoltre |vi|=1 per ogni i

Question 30

Come è definita un’applicazione lineare tra spazi vettoriali?

Answer 30

Siano V1 e V2 spazi vettoriali sullo stesso campo K. Sia L:V1 –>V2
Dico che L è lineare se vale L(lambdav1 + muv2)=lambdaL(v1) + muL(v2)
Per ogni lambda, mu app. K, per ogni v1,v2 app. V1