Limiti

Question 1

Cosa si intende per proprietà verificata “definitivamente”?

Answer 1

Una proprietà è verificata definitivamente per x–>x0 da una funzione se esiste un intorno di x0 tale che tale proprietà vale per ogni punto interno al dominio (contenuto ovviemente nell’intorno) eccetto al più x0

Question 2

Come è definito un intorno di + o - infinito?

Answer 2

Intorno di + infinito: [a,+inf) o (a,+inf)
Intorno di - infinito: (-inf,b] o (-inf,b)

Question 3

Definizione generale di limite

Answer 3

PREMESSE:
-f:X–>R, X contenuto in R
-x0 punto di accumulazione di X
- l numero reale o +-inf

DEFINIZIONE: f(x)—-(x–>x0)—->l se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x0 tale che f(x) appartiene a V se x appartiene a V, definitivamente

Question 4

Definizioni particolari di limiti

Answer 4

VEDI APPUNTI

Question 5

Cosa afferma il Teorema di Permanenza del segno?

Answer 5

IPOTESI: sia f:X contenuto in R –>R t.c. f(x)—-(x–>x0)—->L>0
- sia x0 punto di accumulazione di X

TESI: f(x)>0 definitivamente per x—>x0
inoltre se f(x)>=0 definitivamente per x–>x0 , se il limite esiste esso è >=0

Question 6

Cosa afferma il Teorema del confronto?

Answer 6

IPOTESI:
-siano f,g,h : X –>R, X contenuto in R
- sia il lim f(x) = lim h(x) = L per x–>x0
- si supponga l’esistenza di un intorno di x0 in cui f(x)<=g(x)<=h(x) per ogni x appartenente all’intorno, definitivamente

TESI: lim g(x) = L per x–>x0

RICORDA: per + e - inf basta meno

Question 7

Cosa afferma il teorema sull’algebra dei limiti?

Answer 7

IPOTESI: siano f,g funzioni definite da X a R
- sia x0 di accumulazione per X
- esistano e siano numeri finiti i limiti di f(x) e g(x) per x–>x0 (non + o - inf)

TESI:
1) la composizione lineare dei limiti è il limite della composizione lineare delle funzioni
2) il limite del prodotto delle funzioni è il prodotto dei limiti
3)il limite del rapporto delle funzioni è il rapporto dei limiti

Question 8

Cosa afferma il teorema sui limiti di funzioni composte?

Answer 8

IPOTESI:
-Siano f:A–>R, g:B–>R
-sia Im(g):={y app. R : esiste x app. B con g(x)=y}
-si assuma che Im(g) sia contenuto in A, così che la funzione composta f°g: B–>R definita f(g(x)) per ogni x app. B
-sia x0 punto d accumulazione per B e valga g(x)–x–>x0—>l, l reale o +-inf, con g(x)!=l definitivamente per x–>x0
-si assuma che l sia punto di accumulazione per A e che valga f(y)–y–>l—>M, M reale o +-inf

TESI:
-il limite della funzione composta vale M

Question 9

Quando una funzione f è asintoticamente equivalente a una funzione g per x–>x0?

Answer 9

Dico che due funzioni definite in un intervallo (a,b) sono asintoticamente equivalenti per x–>x0 se [f(x)/g(x)]–x–>x0–>1

es: sinx e x

Question 10

Quando una funzione f è detta un “o piccolo” di una funzione g per x–>x0?

Answer 10

Dico che f è o piccolo di g per x–>x0 se [f(x)/g(x)]–x–>x0–>0, ovvero f va a zero più velocemente di g

es: x è un o piccolo di x^2 per x–>+inf
x^2 è un o piccolo di x per x–>0+

Question 11

Quando una funzione f è un “infinito di ordine inferiore” di una funzione g?
Quando una funzione f è un “infinitesimo di ordine inferiore” di una funzione g?

Answer 11

INFINITO: Quando f è un “o piccolo” di g per x–>x0
INFINITESIMO: Quando f(x),g(x)–x–>x0–>0 e vale che f è un o piccolo di g per x–>x0

Question 12

Come è definita una successione di numeri reali?

Answer 12

Una successione di numeri reali corrisponde a una funzione definita sugli interi che abbia valori reali.
L’unico punto di accumulazione del dominio di una tale funzione è +infinito

Question 13

Cosa afferma il teorema sulle successioni monotone?

Answer 13

IPOTESI: sia an una successione monotona crescente o crescente

TESI: allora la successione considerata ammette limite e vale l=sup{an}

OSSERVAZIONE: se il limite è finito, significa che la successione è limitata, cioè esiste un M: |an|<=M per ogni n
ovvero: l è reale <=> an è limitata

Question 14

Dimostrazione del teorema del numero di Nepero.

Answer 14

Vedi appunti

Question 15

Come è definita una funzione continua in un punto x0?

Answer 15

Sia f:X cont. in R –> R e sia x0 punto di accumulazione di X, che appartiene a X
Dico che f è continua in x0 se vale una delle seguenti proprietà, tra loro equivalenti:
- f(x)–x–>x0–>f(x0)
- definizione di limite con l=f(x0)
- per ogni intorno V di f(x0) esiste un intorno U di x0 : f(x) app. V se x app. a U intersecato X
- per ogni successione xn : xn app. X def. e : xn–n–>+inf–>f(x0) vale f(xn)–n–+inf–>f(x0)

NB: non è necessario chiedere xn!=x0 definitivamente

Question 16

Quali sono le proprietà delle funzioni continue? (Teorema)

Answer 16

IPOTESI:
-siano f,g : X–>R
- sia x0 punto di accumulazione per X
- siano f e g continue in x0

TESI: Sono continue in x0:
- af + bf
- f*g
- f/g se g(x0)!=0
- se f è continua in x0 e g è continua in f(x0) allora la funzione composta g(f(x)) è continua in x0 (e viceversa)

Question 17

Definizioni di discontinuità eliminabile e a salto.

Answer 17

ELIMINABILE:
f(x)–x–>xo+–>l e f(x)–x–>xo(-)–>l ma f(x0)!=0
in tal caso è possibile ridefinire la funzione in modo che sia continua

A SALTO:

Question 17

Definizioni di discontinuità eliminabile e a salto.

Answer 17

ELIMINABILE:
f(x)–x–>xo+–>l e f(x)–x–>xo(-)–>l ma f(x0)!=0
in tal caso è possibile ridefinire la funzione in modo che sia continua

A SALTO:
f(x)–x–>xo+–>l1
f(x)–x–>xo(-)–>l2
con l1 != l2

Question 18

Definizione di funzione monotona.

Answer 18

Una funzione che soddisfa f(x1)<=f(x2) per ogni x1<=x2 con x1,x2 appartenenti al dominio viene detta MONOTONA CRESCENTE (se f(x1)>=f(x2) viene detta MONOTONA DECRESCENTE)

se le disuguaglianze sono strette, la funzione è detta MONOTONA STRETTAMENTE CRESCENTE/DECRESCENTE

OSSERVAZIONE: con questa definizione, anche le funzioni costanti sono crescenti o decrescenti

Question 19

Teorema delle discontinuità delle funzioni monotone.

Answer 19

Sia f:[a,b]–> R monotona
Allora essa può avere al più un infinità numerabile di punti di discontinuità; gli unici punti in cui è possibile che siano presenti discontinuità di tipo eliminabile sono a e b.

In particolare, per tale f esistono finiti il lim(x–>x0+) di F(x) e il lim(x–>x0-) di F(x) per ogni x0 app (a,b)
Per a, esiste finito lim(x–>x0+) di F(x)
Per b, esiste finito lim(x–>x0-) di F(x)

Question 20

Teorema degli zeri, enunciato.

Answer 20

Sia f: [a,b] –>R continua in [a,b]
Sia f(a)f(b)<0.
Allora esiste c appartenente ad (a,b) : f(c) = 0

Question 21

Dimostrazione teorema degli zeri.

Answer 21

Sia c=a+b/2 il punto medio di [a,b]
1) Può essere che f(c)=0, in tal caso non vi è altro da dimostrare
2) Altrimenti in esattamente uno tra gli intervalli [a,c] e [c,b] la funzione cambia segno agli estremi:
-Indichiamo con [a1, b1] tale intervallo
-Iteriamo il procedimento –> è possibile che ad un certo passo si ottenga uno zero di f, in tal caso non c’è altro da dimostrare

-Otteniamo una successione di intervalli [an, bn]:
–{an} è crescente, {bn} è decrescente e vale a<=an<bn<=b per ogni n naturale
– bn - an = b-a/2^2
–f(an)f(bn)<0

-Vale che esiste l1,l2 app [a,b] : an –n–>+inf–>l1 e bn–n–>+inf–>l2 in quanto tali successioni sono monotone e limitate
e dunque sup(an), inf(bn) app [a,b]

3) Mostro ora che l1=l2
-l1<=l2 e quindi 0<=l2-l1 = lim(n–>+inf) bn - an = lim(n–>+inf) b-a/2^n = 0
e quindi l2 - l1 = 0 e quindi l2 = l1
-chiamiamo c tale valore comune

4) Mostro che f(c)=0
-Per ipotesi, f è continua in [a,b], quindi anche in c: dunque vale f(c)=lim(n–>+inf) f(an) = lim(n–>+inf) f(bn)
- ma f(an)>=0 e f(bn)<=0 per ogni n per costruzione, ovvero f(c)=0

Question 22

Teorema dei valori intermedi enunciato.

Answer 22

Sia f: I –> R con I intervallo e sia f continua in I
Siano lambda := inf{f(x), x app I} e LAMBDA := sup{f(x), x app I} e si assuma lamdba!=LAMBDA che sarebbe un caso banale
Sia t app (lambda, LAMBDA)

Allora esiste c app I : f(c) = t

Question 23

Teorema continuità della funzione inversa.

Answer 23

Sia f: I –> A con I intervallo.
Si assuma f continua in I e invertibile

Allora f^-1 : A–>I è continua in A

Question 24

Come si definisce una successione?

Answer 24

Una successione a valori in Rk è una funzione f: N –> Rk.
Tale successione si indica con {xn} con n app. N.

Question 25

Come si definisce il limite di una successione per n–> + inf.

Answer 25

Dico che xn –> x quando n–> + inf. se per ogni epsilon>0 esiste un n app. N tale che |xn - x |<= epsilon se n>=n0

Question 26

Come si definisce una sottosuccessione estratta da {xn} con n app. N ?

Answer 26

Sia {xn} con n app. N una successione a valori in Rk.
Sia {n con h} con h app. N una successione strettamente crescente di interi positivi.
Allora la successione {x con n con h} viene detta sottosuccessione estratta da {xn} con n app. N relativa agli indici {n con h} con h app. N

Question 27

Che cos’è un insieme compatto per successioni?

Answer 27

Sia H contenuto in Rk.

Dico che H è compatto per successioni (o sequenzialmente compatto) se da ogni successione {xn} n app. N è possibile estrarre una sottosuccessione {xn con h} convergente ad un opportuno x app. H

Question 28

Equivalenza tra compattezza e compattezza sequenziale in Rn.

Answer 28

Sia H contenuto in Rk

Allora H è compatto se e solo se H è sequenzialmente compatto .

Question 29

Definizione di continuità in x0 app. Rk.

Answer 29

Sia f: A contenuto in Rk –> R.
Sia x0 punto di accumulazione di A, con f definita in x0.

Dico che f è continua in x0 se il limite per x–>x0 di f(x) = f(x0) , cioè se per ogni epsilon >0 esiste un delta tale che |f(x) - f(x0)| <= epsilon se |x - x0|<= delta, con x app. A

Question 30

Teorema funzioni continue su insiemi compatti.

Answer 30

Sia f: H –> R con H contenuto in Rk.
Si assuma H compatto, f continua su H, cioè continua in ogni x0 app. ad H

Allora f(H):= {y app R : y=f(x) per qualche x app. H} è anch’esso compatto

Question 31

Teorema di Weierstrass, enunciato.

Answer 31

Sia f:H–>R con H contenuto in Rk compatto.
Si assuma f continua su H.

Allora f ammette massimo e minimo assoluti su H, cioè esistono x1, x2 app. H : f(x1)<=f(x)<=f(x2) per ogni x app. H

Question 32

Corollario del teorema di Weierstrass.

Answer 32

Sia f:[a,b]–> R continua in [a,b]

Allora f ammette massimo e minimo assoluti su [a,b].

OSSERVAZIONE: è importante che valgano le tre ipotesi:
- intervallo chiuso
- intervallo limitato
- funzione continua in ogni x app. all’intervallo

Question 33

Com’è definita una funzione uniformemente continua?

Answer 33

Sia f: X –> R, con X contenuto in Rn

Dico che f è uniformemente continua su X se per ogni epsilon>0 esiste un delta : per ogni coppia di punti x, y app. X : |x-y|<=delta vale |f(x) - f(y)|<=epsilon.

Intuitivamente, una funzione f è uniformemente continua se una piccola variazione del punto x comporta una piccola variazione dell’immagine f(x) (quindi f è continua), e la misura della variazione di f(x) dipende solo dalla misura della variazione di x, ma non dal punto x stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice, che è una proprietà locale. Infatti, quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio; non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Question 34

Teorema di Heine-Cantor. Enunciato.

Answer 34

Sia f: X –> R, X contenuto in Rn, X compatto.
Sia f continua in X.

Allora f è uniformemente continua in X.

Question 35

Dimostrazione teorema di Heine-Cantor.

Answer 35

vedi appunti.