Numeri complessi Flashcards
Esiste un campo tale che R è contenuto in esso, e tale che ogni polinomio di grado n ammetta esattamente n radici?
Si, ed esso viene definito C, o R^2.
Tale campo è dotato ovviamente delle operazioni di somma e prodotto, ma non è ordinato nè ordinabile.
Come è definita la somma in C?
Possiamo identificare ogni numero complesso con una coppia ordinata delle sue coordinate in R^2, ma anche con il vettore applicato in (0,0) e corrispondente a quel punto.
La somma di due numeri complessi è quindi definita come la consueta somma vettoriale nel piano cartesiano, descritta con la regola del parallelogramma.
In termini di componenti: []
Come è definito il prodotto in C?
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A cosa corrisponde il piano di Argand-Gauss?
Corrisponde a R^2, ovvero al prodotto cartesiano di R con sè stesso, in cui vengono definite le operazioni di somma e prodotto.
Tale campo si indica con C e viene detto campo dei numeri complessi.
NOTAZIONE:
1) poniamo i=(0,1)
2) I punti del tipo (x,0) vengono indicati solo con x, dal momento che sono numeri reali e l’asse x è identificato con R, cosichhè R è contenuto in C
3) (a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
4) l’elemento neutro della somma è il vettore (0,0)
5) l’elemento neutro del prodotto è 1+0i
6) l’elemento inverso del prodotto è, per ogni numero complesso Z=a+ib, Z_=a-ib detto complesso coniugato
- nel piano cartesiano, coniugare significa riflettere rispetto all’asse reale –> Z_ è il punto simmetrico di Z rispetto a R
Come è definito il modulo di un numero complesso?
Sia Z app. C, Z=a+ib.
Il modulo di Z, indicato con |Z| è definito come rad(a^2 + b^2)
-|Z| rappresenta la distanza di Z da 0, ovvero la lunghezza del vettore v che rappresenta Z in C
Come è definito il rapporto in C?
Sia W/Z un rapporto tra numeri app. a C.
Esso può essere definito, come di consueto, come WZ^-1, dove:
- ZZ_ = |Z^2|
- Z*Z_ / |Z^2| =1
-e quindi Z^-1 = Z_/|Z^2|
Proprietà di coniugato e modulo
vedi appunti, ma spera che non le chieda
Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi.
Sia Z=x+iy e sia teta l’angolo formato dal vettore v rappresentativo di Z in C.
si ha che:
-x = |Z| cos(teta)
-y = |Z| sin(teta)
e quindi
-cos (teta) = x/|Z|
- sin(teta) = y/|Z|
e quindi
Z= x+iy = |Z|(x/|Z| +i y/|Z|)= |Z|(cos(teta) + i sin(teta) )
Formula di De Moivre per il prodotto, con dimostrazione.
Formula di De Moivre per il rapporto.
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Teorema fondamentale dell’algebra.
Sia Pn(Z)=a0+a1Z+a2Z^2+…+anZ^n un polinomio di grado n nella variabile Z app. a C con coefficienti app. a C.
Allora Pn ha esattamente n zeri (complessi) se ogni sua radice è contata con la sua molteplicità.
Estrazioni di radici in C.
Sia PZ:=Z^n - W. Pz, per il teorema fondamentale dell’algebra, deve avere esattamente n radici, essendo di grado n.
Esse corrispondono a: Z^n - W = 0 ovvero Z^n = W.
Tali soluzioni n vengono dette radici n-esime di W, e sono sempre esattamente n.
Vedi dim. su appunti
