Topologia Flashcards
Come è definita una palla aperta in Rn?
Br(x0):={x appartiene a Rn, |x-x0|<R} con R>0 fissato
Come è definita una sfera in Rn?
Sr(x0):={x appartiene a Rn, |x-x0|=R} con R>0 fissato
Come è definito un intorno di x0 in Rn?
Un intorno è un qualunque insieme A contenuto in Rn tale che A contiene una palla aperta centrata in x0
Quando un punto è interno ad un insieme? Quandoo è esterno?
Un punto è interno quando esiste almeno una palla aperta di raggio opportuno che sia contenuta nell’insieme.
Un punto è esterno ad un insieme quando è interno al suo complementare.
Quando un punto è “di frontiera” per un insieme?
Un punto è “di frontiera” quando non è nè interno nè esterno all’insieme considerato. (VEDI: def. di punto interno)
Quando un punto è “di accumulazione” per un insieme?
Un punto è “di accumulazione” per un insieme A se per ogni suo intorno B esiste un x appartenente a B, diverso dal punto di accumulazione, tale che esso appartiene all’insieme A.
Quando un insieme è aperto? Quando è chiuso?
Un insieme è aperto se ogni suo punto è interno all’insieme stesso, ovvero non esistono punti di frontiera.
Un insieme è chiuso se il suo complementare è aperto.
Com’è l’unione di una famiglia di insiemi aperti? E l’intersezione?
L’unione è un insieme aperto.
L’intersezione è un insieme aperto, se la famiglia è finita.
Com’ l’unione di una famiglia di insiemi chiusi? E l’intersezione?
L’unione è un insieme chiuso se la famiglia è finita.
L’intersezione è un insieme chiuso.
Quando un insieme è limitato?
Un insieme A è limitato se esiste un x0 appartenente a Rn tale che l’insieme A può essere contenuto in una palla aperta centrata in x0 e di raggio opportuno
Cosa afferma il teorema di Bolzano Weierstrass?
Qualsiasi insieme limitato e infinito (ovvero composto da un numero infinito di elementi) in Rn ammette almeno un punto di accumulazione
Dimostra il teorema di Bolzano Weierstrass.
1) Rettangolo-prodotto cartesiano che contiene A (IPOTESI: A limitato)
2) dividiamo il rettangolo in 4 parti suddividendo i due intervalli [a,b] e [c,d] in due sottointervalli di uguale lunghezza + scegliamo il rettangolino contenente infiniti punti di A (IPOTESI: A infinito) –> indico con [a1,b1]x[c1,d1] tale rettangolo e itero il processo
3) {immaginando che l’iterazione conduca all’angolino in basso a destra} i rettangoli avranno le seguenti proprietà:
- a1<=a2<=a3<=an
- b1>=b2>=b3>=bn
- an>=bn
ovvero ah<=an<bn<=bk con h<=n, k>=n
- bn - an = (b-a)/2^n per ogni n
- ciascun rettangolo scelto contiene infiniti punti di A
4)Siano ora W l’insieme degli a1,…an e Z l’insieme dei b1,…,bn
- bk è maggiorante di W per ogni k, ovvero sup(W)<=bk
- ak è minorante di Z per ogni k, ovvero inf(Z)>=ak >=sup(W)
5) 0<=inf(Z)-sup(W)<=bn-an= (b-a)/2^n ovvero 0<=inf(Z)-sup(W)<= (b-a)/2^n e ciò implica che inf(Z)-sup(Z)=0 ovvero il processo identifica un punto –> identifico con x0 tale punto
6)eseguo lo stesso processo iterativo su [cn,dn] e identifico un y0
7) affermo quindi che il punto così costruito è di accumulazione per A –> per un opportuno n, il rettangolo [an,bn]x[cn,dn] contiene infiniti punti di A e può essere contenuto in una palla
Come è definita una copertura aperta di un insieme A?
Una copertura aperta di A è una famiglia di insiemi aperti la cui unione contiene interamente A
Come è definito un insieme compatto?
Un insieme compatto se, considerata una sua copertura aperta, è possibile estrarre una sottocopertura finita (ovvero una sottofamiglia finita di insiemi) che sia ancora una copertura di A
Cosa afferma il Teorema di Heine-Borel?
Qualunque insieme contenuto in Rn è compatto se e solo se esso è chiuso e limitato
