Derivate e calcolo differenziale

Question 1

Come è definita una funzione derivabile in un punto?
Come è definita una funzione derivabile in un intervallo?

Answer 1

Sia f:(a,b)–>R.
f si dice derivabile in x0 app- (a,b) se lim per h–>0 di (f(xo+h)-f(x0))/h esiste finito.

Una funzione si dice derivabile in (a,b) se lim per h–>0 di (f(xo+h)-f(x0))/h esiste finito per ogni x0 app. ad (a,b)

Question 2

Come è definita la retta tangente al grafico di f in x0?

Answer 2

Sia f:(a,b)–>R derivabile in x0 app. (a,b).
La retta y= f(x0) + f’(x0)[x - x0] è detta retta tangente al grafico di f nel punto (x0, f(x0)).

Question 3

Teorema sulla continuità di funzioni derivabili.

Answer 3

Sia f:(a,b)–>R derivabile in x0 app. (a,b).

Allora f è continua in x0.

Question 4

Quali sono i tipi di punti di non derivabilità?

Answer 4

1) punto angoloso
2) cuspide
3) flesso a tangente verticale
4) il limite del rapporto incrementale non esiste

Question 5

Teorema sulla derivata della somma, del prodotto, del rapporto

Answer 5

Siano f,g: (a,b)–>R derivabili in x0 app. (a,b)

Allora sono derivabili in x0:
- la funzione af + bg con D (af + bg) = af’(x0) + bg’(x0)
- la funzione fg e vale Dfg = f’(x0)g(x0) + f(x0)g’(x0)
- la funzione f/g e vale (derivata del prodotto)

Question 6

Definizione di differenziabilità.

Answer 6

Sia f: (a,b) –> R, x0 app. (a,b)
Dico che f è differenziabile in x0 se esiste L app. R tale che
f(xo+h)=f(x0) + L*h + o(h) per h–>0

Question 7

Teorema su derivabilità e differenziabilità.

Answer 7

Sia f:(a,b) –> R, x0 app. (a,b)
Allora:
- se f è derivabile in x0 allora f è differenziabile in x0 e vale L=f’(x0)
- se f è differenziabile in x0 allora f è derivabile in x0 e vale f’(x0)=L

Question 8

Teorema sulla derivata della funzione composta. Enunciato.

Answer 8

Sia f:(a,b)–>(c,d) e g:(c,d) –> R
Si assuma f derivabile in x0 app. (a,b), g derivabile in f(x0) app. (c,d)

Allora la funzione composta g comp. f è derivabile in x0 e vale (g comp. f)’(x0) = g’(f(x0))*f’(x0)

Question 9

Teorema sulla derivata della funzione composta. Dimostrazione.

Answer 9

Vedi appunti.

Question 10

Teorema sulla derivata della funzione inversa.

Answer 10

Sia f:(a,b)–>R continua e strettamente monotona.
Sia f derivabile in x0 app. (a,b) con f’(x0)!=0

Allora la funzione inversa di f è ben definita in un opportuno intorno di y0 = f(x0), ed essa è inoltre derivabile in y0.
Vale: g:= f^-1 –> g’(y0)=1/f’(x0)

Question 11

Come sono definiti i punti di massimo e minimo relativo di una funzione f.

Answer 11

Sia f: (a,b)–>R e sia x0 app. (a,b)

Dico che x0 è punto di massimo relativo (rispettivamente di minimo relativo) se esiste delta>0 : f(x0)>=f(x) [risp. f(x0)<=f(x)] per ogni x app. (x0 - delta, x0 + delta)

Question 12

Teorema di Fermat.

Answer 12

Sia f:(a,b)–>R derivabile in x0 app. (a,b).
Si assuma che x0 sia punto di massimo (o di minimo) relativo per f

Allora f’(x0) = 0

OSSERVAZIONE: esistono punti la cui derivata vale 0, che non sono però punti di massimo o minimo relativi.

Question 13

Teorema di Rolle.

Answer 13

Sia f:[a,b]–>R continua in [a,b], derivabile in (a,b)
Sia f(a)=f(b)

Allora esiste almeno un c appartenente ad (a,b) tale che f’(c)=0. Tale punto è detto punto stazionario per f.

Question 14

Teorema di Cauchy.

Answer 14

Siano f,g : [a,b]–>R continue su [a,b]

Allora esiste c app. (a,b) tale che [f(b)-f(a)]g’(c)=[g(b)-g(a)]f’(c)

Question 15

Teorema di Lagrange. (Teorema dei valori medi)

Answer 15

Sia f:[a,b] continua in [a,b], derivabile in (a,b).

Allora esiste c app. (a,b) tale che f’(c)=(f(a)-f(b))/a-b

Question 16

Quali sono le applicazioni del teorema di Lagrange?

Answer 16

1) Test di monotonia
2) Test della costanza
3) Funzioni con derivata uguale differiscono per una costante
4) Proprietà dei valori intermedi per le derivate

Question 17

In cosa consiste il test di monotonia?

Answer 17

Sia f:(a,b) –> R derivabile in (a,b)

Allora f è crescente (rispettivamente decrescente) in (a,b) se e solo se f’(x0)>=0 (rispettivamente <=0) per ogni x0 app. (a,b)

Question 18

In cosa consiste il test di costanza?

Answer 18

Sia f:(a,b)–>R derivabile in (a,b)

Allora f è costante in (a,b) se e solo se f’(x)=0 per ogni x app. ad (a,b)

Question 19

Cosa è possibile affermare sulle funzioni con derivata uguale?

Answer 19

Se f,g:(a,b)–>R sono derivabili in (a,b) e f’(x)=g’(x) per ogni x app. (a,b)

Allora esiste k app. R : f(x) = g(x) + k per ogni x app. (a,b). Le due funzioni differiscono per una costante.

Question 20

Cosa sono le proprietà dei valori intermedi per le derivate?

Answer 20

Sia f:(a,b)–>R derivabile in (a,b)
Siano x1, x2 app. (a,b) fissati

Allora f’ assume tutti i valori compresi tra f’(x1) e f’(x2), nell’intervallo (x1, x2)

Question 21

Teorema di De L’Hospital. Enunciato.

Answer 21

Siano f,g:(a,b)–>R, con -inf<=a<b<=+inf
Si assuma, inoltre:
-lim x–>a+ di f(x) = lim x–>a+ di g(x) = 0 (oppure +-inf), ovvero che esista una forma di indecisione nel lim x–>a+ di f(x)/g(x)
-f,g derivabili in (a,b) e g’(x)!=0 per ogni x app. ad (a,b)
-lim x–>a+ di f’(x)/g’(x) = L app. R U (+-inf), ovvero che esista il limite per x–>a+ del rapporto delle derivate di f,g

Allora lim x–>a+ di f(x)/g(x) = L

Analoghi risultati valgono per lim x–>b- di f(x)/g(x)

Question 22

Teorema di De L’Hospital. Dimostrazione del caso 0/0.

Answer 22

Vedi appunti.

Question 23

Teorema su Polinomio di Taylor.

Answer 23

Sia n app. N e f:(a,b)–>R derivabile n volte in x0 app. (a,b)

Allora esiste uno e un solo polinomio tn(x) di grado <=n che ha in x0 un punto di contatto di orgine n con f
Tale polinomio è:
tn(x)=Sommatoria per k da 0 a n di: [f^k (x0)/k!]*(x-x0)^k

LEMMA:
Sia tn(f) il polinomio di Taylor di ordine n di f, centrato in un punto x0 fissato

Allora D[tn(f)]=tn-1(f’) per ogni n>=1 con t0(f):=f(x0)

Question 24

Teorema della formula di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Enunciato.

Answer 24

Sia n app. N e f:[a,b]–>R derivabile n volte in x0 app. (a,b).
Sia tn il suo polinomio di Taylor du ordine n centrato in x0.

Allora:
1)f(x)=tn(x)+o(x-x0)^n per x–>x0 [formula di Taylor con resto di Peano]
2) Se inoltre f è derivabile n+1 volte in (a,b)
Allora si ha che per ogni x app. (a,b) f(x)=tn(x) + [f^(n+1)(c)/(n+1)!]*(x-x0)^(n+1) per un opportuno c app (x, x0) [formula di Taylor con resto di Lagrange]

Question 25

Teorema della formula di Taylor con resto di Lagrange. Dimostrazione.

Answer 25

Vedi appunti

Question 26

Come si determina la natura dei punti stazionari di una funzione?

Answer 26

Sia n app. N e n>1.
Sia f:(a,b)–>R derivabile n volte in x0 app. (a,b) e sia f’(x0)=f’‘(x0)=…=f^(n-1)(x0)=0 ma f^n!=0

Allora:
- Sia n pari: se f^n(x0)>0 (rispettivamente f^n(x0)<0) f(x0) è punto di minimo relativo (rispettivamente massimo relativo) per f
- Sia n dispari: x0 non è punto di estremo relativo

Question 27

Come è definito un insieme convesso?

Answer 27

Sia A contenuto in Rn.
Dico che A è convesso se per ogni x1,x2 punti appartenenti ad A il segmento che li congiunge è interamente contenuto in A.
Cioè se s(t)=x1 + t(x2-x1) , t app [0,1] è interamente contenuto in A

Question 28

Come è definito l’epigrafico di una funzione?

Answer 28

Sia f:I–>R, con I intervallo.
L’epigrafico di f è definito come:
epi(f):= {(x,y)app R2, x app. I, y>=f(x)}

ESSENZIALMENTE: la parte di piano al di sopra della funzione

Question 29

Quando una funzione è definita convessa (rispettivamente concava)?

Answer 29

Sia f:I–>R, con I intervallo.
Dico che f è convessa (rispettivamente concava) su I se epi(f) è un insieme convesso (rispettivamente, se epi(-f) è un insieme convesso).

Question 30

Teorema su concavità/convessità , continuità e derivabilità

Answer 30

Sia f:(a,b)–>R, convessa o concava su (a,b)

Allora:
-f è continua su (a,b)
- per ogni x0 app. (a,b) esiste f’+(x0) e f’-(x0)

NB: la tesi è in generale falsa in x=a, x=b se si ponte l’intervallo chiuso

Question 31

Teorema su concavità e convessità e retta tangente al grafico di f in un punto.

Answer 31

Sia f: (a,b)–>R convessa (rispettivamente concava) in (a,b)
Si assuma che f sia derivabile in x0

Allora la retta tangente al grafico di f in (x0,f(x0)) sta non strettamente sopra (risp. sotto) il grafico di f in (a,b)

Question 32

Teorema su concavità/convessità e derivata prima e seconda.

Answer 32

Sia f:(a,b)–>R
1) Se f è derivabile in (a,b), f è convessa (rispettivamente concava) in (a,b) se e solo se f’ è crescente (rispettivamente decrescente) in (a,b)

2) Se f è due volte derivabile in (a,b), f è convessa (rispettivamente concava) in (a,b) se e solo se f’‘(x0)>=0 (rispettivamente f’‘(x0)<=0) su (a,b)

Question 33

Come è definito un punto di flesso di f?

Answer 33

Sia f:(a,b)–>R, x0 app. (a,b)
Si assuma f derivabile in x0, oppure che la derivata valga +-inf

Dico che x0 è punto di flesso per f se esiste epsilon>0 : f è strettamente convessa in [x0, x0+epsilon] e strettamente concava in [x0-epsilon, x0], e viceversa