Sistemi lineari

Question 1

Come è definito un sistema lineare?
Quando un sistema è omogeneo o non omogeneo?
Come si scrive un sistema in forma matriciale?

Answer 1

Un sistema di n operazioni in n incognite del tipo:
{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
….
{am1x1+am2x2+…+amnxn=bn
con coefficienti aij, incognite xi, termini noti bj
si dice sistema lineare.
Tutte le grandezze coinvolte possono essere reali o complesse.

Il sistema si dice omogeneo se b1=b1=…=bm=0, non omogeneo se almeno uno dei bi è non nullo.

Poniamo A:=(aij), i=1,…,m j=1,…,n app. Mm,n
bvettore:=(b1 …. bn), xvettore:=(x1 … xn) app. Rn
Il sistema si scrive in forma matriciale come Ax=b

Question 2

Teorema su sistemi lineari a n incognite e n equazioni dove detA della matrice associata !=0

Answer 2

Sia A app. Mm,n : detA!=0.
Allora il sitema Ax=b ha una e una sola soluzione data da x=A^-1*b

Question 3

Teorema di Cramer.

Answer 3

Sia A app. Mm,n : detA!=0
Sia b app. Rn
Allora l’unica soluzione x=A^-1*b può essere scritta in componenti come segue:
Sia Bi=(a11 a12 … b1 …. a1n
a21 a22 … b2 … a2n
an1 an2 … bn … ann) per ogni i=1, … , n dove A=(aij)
e xi=detBi/detA per ogni i=1, … , n

Question 4

Teorema sulle soluzioni di un sistema omogeneo.

Answer 4

Sia A app. Mn,n t.c. detA=0
Allora il sistema omogeneo Ax=0 ha infinite soluzioni

Question 5

Teorema sulle soluzioni di un sistema non omogeneo con detA=0

Answer 5

Sia A app. Mn,n t.c. detA=0
Sia bvettore app. Rn
SI assuma che il sistema Ax=b ammetta almeno una soluzione x1vettore
Allora tale sistema ammette infinite soluzioni x date da x=x1+X0 dove x0 è soluzione del sistema omogeneo Ax=0

Question 6

Come sono definiti nucleo e immagine di un’applicazione lineare?

Answer 6

Sia L:Vn–>Vm lineare
Definisco
IMMAGINE DI L: Im(L):={v app. Vm : esiste u pp. Vn con L(u)=v}
NUCLEO DI L: Ker(L):={u app. Vn : L(u)=0}

Question 7

Teorema su nucleo e immagine di un’applicazione lineare.

Answer 7

Vale che:
1) Im(L) è un sottospazio di Vm
2)Ker(L) è un sottospazio di Vn
3) Sia A app. Mm,n una matrice che rappresenta L in opportune basi:
dim(Im(L))=rk(A)

Question 8

Teorema di nullità più rango. Enunciato.

Answer 8

Sia L:Vn–>Vm lineare
Allora dim(Im(L))+dim(ker(L))=n
dove, per un teorema precedente, dim(Im(L))=rkA

Question 9

Teorema di nullità più rango. Dimostrazione.

Answer 9

Vedi appunti.

Question 10

Definizione di un’applicazione lineare suriettiva, iniettiva, biunivoca.

Answer 10

Sia L:Vn–>Vm.
Dico che L è suriettiva se Im(L)=Vm.
Dico che L è iniettiva se ker(L)=0vettore. Questo basta a dimostrare che se due oggetti hanno la stessa immagine allora coincidono.
Dico che L è biettiva, o invertibile, se essa è sia iniettiva che suriettiva

Nel caso n=m, dim(Im(L))=n, ovvero dim(ker(L))=0, ovvero Ker(L)=0vettore, ovvero nel caso n=m L lineare è iniettiva se e solo se L è suriettiva.

Question 11

Teorema di Rouchè-Capelli.

Answer 11

Sia A app. Mm,n
Sia b app. Rm
Il sistema Ax=b ammette soluzioni se e solo se rk(A)=rk(A|b)

Question 12

Come cambiano le componenti di un fissato vettore se cambia la base di riferimento?

Answer 12

Si consideri V=Rn, riferito alla base canonica e1,…,en
- Scelgo altri n vettori linearmente indipendenti e1’, … ,en che rappresentano quindi una nuova base per Rn
-Sia poi S la matrice ottenuta accostanto e1’ , … ,en’
- Vale che Sei=ei’
-i vettori ei’ sono per ipotesi indipendenti, quindi detS!=0 e dunque esiste s^-1
-posso affermare che se v app. Rn ha coordinate x=(x1, … ,xn) nella base canonica, allora esso ha, nella nuova base ei’, coordinate x’=S^-1x
-si noti che, scritto S=sij, vale che si,j=(e’j)i
- quindi da x=sommatoria per j che va da 1 a n(x’je’j) si ottiene xi=sommatoria per j che va da 1 a n(x’j(e’j)i)
-dunque xi=sommatoria per j che va da 1 a n(i’jsi,j) ovvero x=Sx’

Si assuma che valga y=Ax dove i vettori sono intesi in base canonica.
-dovrà allora essere che y’=S^-1y=S^-1Ax=S^-1ASx’
-ne segue che l’applicazione lineare rappresentata da A nella base canonica è rappresentata da S^-1AS nella base e1’, … ,en’

Question 13

Come è definita una matrice diagonalizzabile?

Answer 13

Sia A app. Mn,n a elementi in K
Dico che A è diagonalizzabile su K se esistono due matrici LAMBDA diagonale, S invertibile, entrambe a elementi in K t,.c. LAMBDA=S^-1AS

Question 14

Come sono definiti autovalori e autovettori di una matrice A?

Answer 14

Sia A app. Mn,n a elementi in K
Sia lambda app. C, v app. Cn, v!=0 : Av=lambdav
Dico che v è un autovettore di A relativo all’autovalore lambda

Question 15

Teorema sull’autospazio relativo all’autovalore lambda di una matrice A.

Answer 15

Siano A app. Mn,n, lambda app. C
Se esistono autovettori di A relativi all’autovalore lambda all’ora l’insieme di tali autovettori è un sottospazio di Cn detto autospazio relativo all’autovalore lambda, se unito all’elemento 0vettore

Question 16

Come si trovano autovalori e autovettori di una matrice A?

Answer 16

Deve valere Av=lambdav con v!=0, cioè Av=lambdaIv, ovvero Av - lambdaIv = 0, ovvero (A - lambdaI)v = 0
-Per quanto detto in precedenza, ciò accade se e solo se det(A - lambdaI) = 0. In tal caso il sistema omogeneo (A - lambdaI)*v = 0 ha infinite soluzioni non nulle, in caso contrario non esistono soluzioni non nulle

Question 17

Teorema sulla relazione tra autovettori e diagonalizzabilità. Enunciato.

Answer 17

Sia A app. Mn,n
A è diagonalizzabile su K se e solo se Kn ammette una base di autovettori di A
Inoltre, in tal caso, si indichino con h1, … , hn gli elementi di tale base e con lamda1, … , lambdan i corrispondenti autovalori
- Si ponga S:=(h1, … , hn), LAMBDA=matrice identità con gli autovalori sulla diagonale
-Vale allora che S^-1AS=LAMBDA , ovvero la matrice del cambiamento di base è data da una base di autovettori

Question 18

Teorema sulla relazione tra autovettori e diagonalizzabilità. Dimostrazione.

Answer 18

Vedi appunti.

Question 19

Come sono definite la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?

Answer 19

Sia A app. Mn,n e sia Pn(lambda) il suo polinomio caratteristico.
Sia lambda0 un autovalore di A
-Dico che lambda0 ha molteplicità algebrica pari a k se lambda0 è uno zero di Pn di ordine k, cioè se Pn(lambda) è divisibile per (lambda - lambda0)^k, ma non per (lambda - lambda0)^k+1
-La molteplicità geometrica di lambda0 è definita come la dimensione di ker(A-lambda0*l), cioè come la dimensione dell’autospazio relativo a lambda0

Question 20

Teorema su molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.

Answer 20

Sia A app. Mn,n e lambda0 autovalore di A.
1) Autovettori relativi ad autovalori distinti sono tra loro indipendenti
2) siamo mlambda0 e dlambda0 le molteplicità algebrica e geometrica di lambda0, rispettivamente. segue che dlambda0<=mlambda0

Question 21

Teorema sulla relazione tra diagonalizzabilità e molteplicità algebrica e geometrica

Answer 21

Sia A app. mn,n
A è diagonalizzabile su K se e solo se mlambda=dlambda per ogni autovalore di A e (nel solo caso R) se tutte le quantità coinvolte sono reali
-In particolare, se A ha n autovalori distinti segue che A è sicuramente diagonalizzabile

Question 22

Quali sono i passaggi da fare per controllare se una matrice è diagonalizzabile?

Answer 22

1) Risolvere det(A-lambdaI)=0 –> Vi sono n soluzioni, eventualmente non tutte distinte
2)per ogni lambda autovalore di A, calcolare dlambda e controllare se mlambda=dlambda
- NB: dlambda=dim(ker(A-LambdaI))=n-dim(Im(A-lambdaI))=n-rk(A-lambdaI)

Question 23

Come è definita una matrice simmetrica?
Come è definita una matrice ortogonale?

Answer 23

Sia A app. Mn,n
Dico che A è simmetrica se At=A
Se A app. mn,m matrice ad elementi app. R, dico che A è ortogonale se AAt=AtA=I, cioè se è invertibile e A^-1=At

Question 24

Teorema spettrale.

Answer 24

Sia A app. Mn,n simmetrica e reale
-A è diagonalizzabile su R e la matrice di passaggio può essere presa ortogonale
-Esiste una base ortonormale di autovettori