Integrali Flashcards
come è definita una partizione?
Sia [a,b] contenuto in R e siano a=x0 <x1 <x2 <x3 <…<xn-1<xn =b punti di [a,b]
L’insieme {xi} con i=1,2,3,…,n viene allora detto partizione di [a,b], e indicato con P(x0,…,xn) o semplicemente con P
Se P1 e P2 sono partizioni di [a,b], dico che P2 è più fine di P1 se P1 è contenuta in P2 e P1!=P2
Come sono definite le somme inferiori e superiori relative ad f e alla partizione P?
Sia f:[a,b]–>R limitata e si ponga:
- mi := inf(f(x)) per x app. [xi-1 , xi]
- Mi := sup(f(x)) per x app. [xi-1 , xi]
dove P:={x0, x1, … , xn} è una partizione di [a,b]
Definisco allora le somme inferiori s(P,f) e superiori S(P,f) relative alla funzione f e alla partizione P:
s(P,f)= sommatoria per i che va da 1 a n (mi(xi-x(i-1)))
S(P,f) = sommatoria per i che va da 1 a n (Mi(xi-x(i-1)))
Quando una funzione è integrabile secondo Riemann?
Sia f:[a,b]–>R limitata
Dico che f è integrabile secondo Riemann in [a,b] se
sup s(P,f) = inf S(P,f)
LEMMA:
Sia f:[a,b]–>R limitata
Allora f è integrabile su [a,b] se e solo se per ogni epsilon>0 esiste una partizione Pepsilon di [a,b] tale che S(Pepsilon,f)-s(Pepsilon,f)<=epsilon
Quali sono le proprietà delle partizioni e delle relative somme inferiori e superiori?
1) Siano P1,P2 partizioni di ]a,b[, P2 più fine di P1
Allora s(P1,f)<=s(P2,f) e S(P1,f)>=S(P2,f)
2) Sia f:[a,b]–>R limitata
Allora inf S(P,f)>=sup s(P,f), con P partizione di [a,b]
In generale vale inf S(P,f)>sup s(P,f)
Teorema sull’integrabilità di funzioni continue in [a,b]. Enunciato.
Sia f:[a,b]–>R continua su [a,b] (e quindi limitata per il teorema di Weierstrass)
Allora f è integrabile su [a,b]
Teorema sull’integrabilità di funzioni continue in [a,b]. Dimostrazione.
Vedi appunti.
Teorema sull’integrabilità di funzioni monotone.
Sia f:[a,b]–>R monotona
Allora f è integrabile su [a,b]
NB: f così definita è necessariamente limitata
Teorema sull’integrabilità di funzioni limitate e con un numero finito di punti di discontinuità.
Sia f:[a,b]–>R limitata su [a,b] e ivi continua, salvo al più in un numero finito di punti
Allora f è integrabile su [a,b]
Quali sono le proprietà elementari dell’integrale?
Siano f,g:[a,b]–>R integrabili su [a,b]
Valgono le seguenti proprietà:
1) LINEARITA’: per ogni a,b app. R si ha che af + bg è integravile su [a,b] e vale che l’integrale è la somma degli integrali
2) ORDINAMENTO: Se f<=g su [a,b] gli integrali sono ordinati
3) |f| è integrabile e vale che il modulo dell’integrale è <= dell’integrale di |f|
4) TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE
5) Sia c app. (a,b)
Allora f è integrabile sia su [a,c] che su [c,b] e vale che int.(a–>b)=int(a–>c) + int.(c–>b)
Teorema della media integrale.
Siano ,:=sup(f(x)) e m:=inf(f(x))
Allora m>=1/b-a*integrale da a a b di fx <=M
Inoltre, se f è continua su [a,b] esiste c app. [a,b] : f(c) = 1/b-a*integrale da a a b di fx
Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Enunciato.
Sia f:[a,b]–>R integrabile su [a,b]
Supponiamo che esista una primitiva F:(a,b)–>R di f, cioè una funzione F derivabile tale che F’(x)=f(x) per ogni x app. (a,b)
Si assuma infine che i seguenti oggetti esistano finiti:
F(a+):=lim per x–>a+ di F(x) e F(b-):= lim per x–>b- di F(x)
Allora vale che int(a–>b)fxdx = F(b-) - F(a+)
Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Dimostrazione.
Vedi appunti.
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Enunciato.
Sia f:[a,b]–>R integrabile su [a,b]
Sia c app. (a,b) fissato e si ponga F(x):=int.(c–>x)f(t)dt
Vale allora quanto segue:
- F è continua su [a,b]
- Se f è continua in x0 app. (a,b) allora F è derivabile in x0 e vale F’(x0)=f(x0). In particolare, se f è continua su (a,b) allora F è una primitiva di f in (a,b)
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Dimostrazione.
Vedi appunti.
Come è definita una funzione integrabile in senso generalizzato?
Sia f:[a,+inf)–>R, f integrabile su [a,b]
Dico che f è integrabile in senso improprio o generalizzato su [a,+inf) se lim per b–>+inf di int(a–>b)fxdx esiste finito e in tal caso tale limite si indica con int.(a–>+inf)fxdx
