02 Функція y=ax²+bx+c, її властивості і графік -- 05 Розв'язання квадратних нерівностей

Question 1

Графік функції y=ax2+bx+c

Answer 1

параболу
https://sites.google.com/site/prostaamatematika01/_/rsrc/1484405126710/our-story-2/about-the-bride/hello_html_18f8c2db.jpg?height=320&width=320

Question 2

Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв’язання рівняння ax2+bx+c=0 . Формулы.

Answer 2

Згадаємо формули коренів квадратного рівняння:
D=b^2−4ac
x1= −b+√D / 2a,
x2= −b−√D / 2a

Question 3

Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв’язання рівняння ax2+bx+c=0 .
Якщо D > 0

Answer 3

у рівняння два різних кореня,
парабола перетинає вісь x у двох точках

https://yklua-resources.azureedge.net/d5e695ac-e903-4064-9605-62a8160fb0c2/parab1.png

Question 4

Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв’язання рівняння ax2+bx+c=0
Якщо D=0 ,

Answer 4

у рівняння два однакових кореня,
вершина параболи знаходиться на осі x

https://yklua-resources.azureedge.net/82f0c333-c47a-4107-b659-7fecb96a6020/parab2.png

Question 5

Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв’язання рівняння ax2+bx+c=0 .
Якщо D < 0 ,

Answer 5

у рівняння немає коренів, парабола не перетинає вісь x

https://yklua-resources.azureedge.net/64fd03b6-ca50-44f3-a400-ea6b3db5c516/parab3.png

Question 6

Якщо a > 0 , гілки параболи спрямовані

Answer 6

вгору

Question 7

Якщо a < 0 , гілки параболи спрямовані

Answer 7

вниз

Question 8

Якщо хочеш, щоб гілки параболи завжди були спрямовані вгору, у випадках, коли a < 0 , треба спочатку

Answer 8

обидві частини нерівності помножити на ( −1 ). Не забудь, що на протилежний поміняється знак нерівност

Question 9

Властивості знаків:

(+)(+)=

Answer 9

(+)

Question 10

Властивості знаків:

(−)(−)=

Answer 10

(+)

Question 11

Властивості знаків:

(+)(−)=

Answer 11

(−)

Question 12

Властивості знаків:

(−)(+)=

Answer 12

(−)

Question 13

Метод інтервалів
Приклад:
Розв’язати нерівність. 2x^2−7x−4 ≤ 0

Answer 13

Розв’язання. Знайдемо корені квадратного тричлена 2x^2−7x−4
і розкладемо його на множники за формулою ax^2+bx+c = a(x−x1)(x+x1)

Дискриминант. Корны.

2x^2−7x−4 = 2(x+0,5)(x−4)
2(x+0,5)(x−4) = 0 |:2
(x+0,5)(x−4) = 0
x1=−0,5; x2=4

Зазначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти по одному значенню і підставити замість x у тричлен.
https://yklua-resources.azureedge.net/d1f5de2e-49c1-42fe-a55a-8bf17ff0d637/interv3.png
На інтервалі [4;+∞) візьмемо x = 5, тоді 2⋅5^2−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39 = 11 > 0

Квадратний тричлен приймає від’ємні і рівні нулю значення на інтервалі [−0,5;4].
Відповідь: −0,5 ≤ x ≤ 4

Question 14

m^2+pm+q ≥ 0

Розв’язати таку нерівність - це означає

Answer 14

відповісти на питання, при яких значеннях m ординати точок параболи додатні і рівні нулю.

Множина розв’язків даної нерівності зображена на малюнку
https://yklua-resources.azureedge.net/96bcaa6a-ef6d-4a57-b2bd-ca5808ff6cee/parab4.png

Question 15

b^2+pb+q ≤ 0

Розв’язати таку нерівність - це означає

Answer 15

відповісти на питання, при яких значеннях b ординати точок параболи від’ємні і дорівнюють нулю.

Множина розв’язків даної нерівності зображена на малюнку
https://yklua-resources.azureedge.net/3da47a63-5627-4698-a072-d5ecb8167f97/parab5.png

Question 16

Оскільки D < 0, у даного квадратного рівняння коренів немає, тому графік даної функції (парабола) не перетинає вісь x.
Ответ?

Answer 16

x∈(−∞;+∞) або x∈R

https://yklua-resources.azureedge.net/ba73b7ff-02ad-4f77-80c2-5e1bcd8e116b/parab24.png