Campi vettoriali e forme differenziali Flashcards
(27 cards)
Dare la definizione di campo vettoriale.
F:A⊆R^n → R^n
F(x,y) = (f(x,y), g(x,y))
Cos’è il lavoro di un campo vettoriale F?
È una misura di quanto F assecondi o si opponga al movimento di una massa m.
Ricavare l’integrale curvilineo di seconda specie e la seconda formula per calcolarlo.
Vedi appunti a pag 121.
Elencare le 3 proprietà del lavoro.
- Il lavoro non dipende dalla parametrizzazione della curva purché siano concorde (se discorde cambia segno).
- L(F,δ) = -L(F,-δ).
- L(F,δ) = L(F,δ1) +L(F,δ2) se δ=δ1⊕ δ2.
Dimostrare il legame tra il lavoro e l’energia cinetica.
Vedi appunti a pag 122.
Dimostrare il legame tra il lavoro e l’energia potenziale.
Vedi appunti a pag 123.
Dare la definizione teorica e analitica di campo conservativo.
Si tratta di un campo che non dipende dalla traiettoria. Per definizione analitica vedi appunti a pag 123.
Enunciare e dimostrare il teorema di compensazione per campi conservativi.
Vedi appunti a pag 125.
Enuncia il teorema della media.
Vedi appunti a pag 125.
Dare una definizione teorica e analitica del rotore di un campo vettoriale.
Il rotore di un campo vettoriale indica la capacità di tale campo di indurre rotazioni.
Quando F si dice irrotazionale?
Se rotF=0.
Enunciare e dimostrare il legame tra campo conservativo e campo rotazionale.
Se il campo è conservativo è anche irrotazionale. Per dimostrazione vedi appunti a pag 126.
Definire un insieme A connesso.
Vedi appunti a pag 127.
Definire un insieme A semplicemente connesso.
Vedi appunti a pag 127.
Data F:A⊆R^n→R un campo C1(A) e A semplicemente connesso cosa implica? È valida l’implicazione contraria?
Implica che rotF = 0. Non è valida l’implicazione contraria.
Come si calcola l’integrale lungo una curva di una forma differenziale?
∫f dx + g dy = ∫(f(δ) x’(t) + g(δ) y’(t)) dt
Quando una forma differenziale è esatta?
Se ∃ V:A⊆R → R : dV = ω
dV(x,y) = Vxdx + Vydy.
Quando una forma differenziale è chiusa?
Se dω=0
Qual è il legame tra ω esatta e ω chiusa?
Se ω è esatta allora è chiusa, non viceversa.
Quale metodo possiamo utilizzare per dire che ω è esatta?
dω = 0 e A s.c. → ω esatta.
Quando una curva δ si può dire che è orientata?
Se, in ogni suo punto, è assegnato un vettore normale n.
Data δ è la curve che definisce un insieme A, quando possiamo dire che δ è orientata positivamente?
Lo è se il campo di vettori assegnato è uscente da A.
Definisci un dominio regolare.
A è detto dominio regolare se è unione finita di domini normali.
Esprimi e dimostra la formula di Gauss-Green.
Vedi appunti a pag 134.
