Ottimizzazione Flashcards
(22 cards)
Definire un punto di massimo e minimo relativo.
Vedi appunti a pag 67
Definire un punto di massimo e minimo assoluto.
Vedi appunti a pag 67.
Definire un punto stazionario (critico).
x0 è stazionario (critico) se:
Data f : A → R e x0 ∈ A. x0 è critico se ▽f(x0) = 0
È importante che A sia aperto, potrebbe esserci un punto critico anche dove ▽f(x0)≠0.
Cos’è un insieme compatto?
È un insieme chiuso e limitato.
Definisci il teorema di Weierstrass sui punti critici.
Data f : A → R, se f è continua e A compatto → f ammette almeno un minimo e un massimo assoluto in A.
Definisci il teorema di Fermat.
Data f : A → R con A aperto e f differenziabile, x0 ∈ A.
Se x0 è un estremo relativo → x0 è stazionario ▽f(x0)=0.
Non è detto il contrario.
Quando x0 è un punto di sella?
Data f : A → R, x0 ∈ A.
x0 è un punto di sella se:
- ▽f(x0) = 0;
- f(x) - f(x0) cambia segno in ogni intorno di x0.
Come saranno gli autovalori di un matrice A se A è definita positiva o negativa?
Se è definita positiva, i suoi autovalori saranno positivi.
Se è definita negativa, i suoi autovalori saranno negativi.
Quando una matrice A è definita positiva, negativa, semi-definita e indefinita?
- È definita positiva se e solo se tutti i suoi minori di testa sono positivi.
- È definita negativa se e solo se i minori di testa di ordine dispari sono negativi e se i minori di testa di ordine pari sono positivi.
- È semi-definita se det(A) = 0.
- Altrimenti è indefinita.
Data f : A → R con A aperto e f∈C2(A), H matrice hessiana di f, x0 punto stazionario di f.
Definire quando x0 è un minimo relativo, un massimo relativo, un punto di sella o non si può dire nulla.
- Se det(H(x0)) > 0 e fxx(x0) > 0 → x0 è un min. relativo.
- Se det(H(x0)) > 0 e fxx(x0) < 0 → x0 è un max. relativo.
- Se det(H(x0)) < 0 → x0 è un punto di sella.
Se det(H(x0)) = 0 → non si può dire nulla.
Dare una definizione di estremo vincolato.
Data f : K → R con f continua e K compatto.
Data Γ curva chiamata vincolo.
Diciamo che P0 è un punto di massimo o minimo locale/globale vincolato (con vincolo Γ ) per f se P0 è un punto di massimo o minimo locale/globale per la restrizione di f a Γ.
Quando un vincolo Γ è definito regolare?
Data f : K → R.
Γ : g(x,y) = 0 con g differenziabile.
Diremo che Γ è un vincolo regolare se ▽g(x,y)≠0 ∀ (x,y) ∈ K.
Quindi se non ha spigoli, cuspidi o punti angolosi.
Come possiamo interpretare geometricamente gli estremi vincolati?
Data la curva vincolante Γ, possiamo dire che il massimo e minimo vincolati sono i punti in cui la curva Γ è tangente con le curve di livello di f.
Come si ricavano gli estremi vincolati con il metodo diretto?
Data f(x,y) e Γ curva vincolante parametrica, ci ricaviamo il massimo della funzione f o Γ, sostituiamo i valori ricavati nella curva Γ e li confrontiamo per capire qual è il massimo e quale il minimo.
Come si ricavano gli estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange?
Data (x0, y0) estremo vincolato di f in Γ → ∃ λ ∈ R :
▽f(x0,y0) = λ▽g(x0,y0)
g(x0,y0) = 0
Le soluzioni di tale sistema sono i candidati ad essere massimi e minimi vincolati. Sostituisco tali valori nella curva Γ e, confrontandoli, ricavo qual è il massimo e il minimo vincolato.
Cosa permette di fare il teorema del Dini?
Permette di capire se una curva scritta in modo implicito può essere riscritta localmente in maniere esplicita e fornisca una formula che mi permette di calcolare la derivata prima della funzione esplicita in un punto che annulla la funzione implicita di partenza.
Quali sono le condizioni sufficienti per l’esplicitazione di una funzione implicita? Come si calcola la derivata prima della funzione esplicita in un punto che annulla la funzione implicita di partenza? Dimostra tale calcolo.
Le condizioni sono:
- f(x0, y0) = 0
- fy(x0, y0) ≠ 0
allora ∃ un intorno di (x0,y0) in cui f(x,y) può essere riscritta in maniere esplicita.
La derivata prima della funzione esplicita in un punto che annulla la funzione implicita di partenza si calcola:
φ’(x) = - (fx(x,φ(x)))/(fx(x,φ(x)))
Per dimostrazione vedi appunti a pag 86.
Dimostra il teorema del Dini.
Vedi appunti a pag 85.
Quali sono le due proprietà di φ(x) (funzione esplicita ricavata dal teorema del Dini)?
Continuità e derivabilità.
Dimostra la derivabilità di φ(x).
Vedi appunti a pag 86.
Ricava la derivata φ’‘(x).
Vedi appunti a pag 88.
Enunciare il teorema del Dini per un sistema non lineare.
Vedi appunti a pag 91.
