Superfici e vari teoremi. Flashcards
(21 cards)
Data F:A⊆R → R esprimere la divergenza di F se F=(f,g) oppure F=(f,g,h)
divF = fx+gy divF = fx+gy+hz
Cosa rappresenta la divergenza di un campo?
Rappresenta la misura degli ingressi e delle uscite da A.
Definisci una superficie parametrica.
∑ è una superficie parametrica se ∃σ:A⊆R^2 → R^3 continua tale che σ(u,v) = (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v))
Definisci una superficie cartesiana.
∑ è una superficie cartesiana se ∃g:A⊆R^3 → R :
∑={(x,y,z)∈R^3:g(x,y,z)=0}
Data f:A⊆R^3 → R definire il grafico di f.
Il grafico di f è una superficie cartesiana (z = f(x,y)).
Cosa implica la regolarità di una superficie ∑ di f?
∑ è regolare ↔ f è differenziabile ↔ ∃ piano tangente a f ↔ ∃ un vettore normale.
Come si trova ▽g(x,y,z) con le sue superfici di livello?
Sono ortogonali tra loro.
Qual è l’equazione di un piano tangente alla funzione g(x,y,z) nel punto (x0, y0, z0)?
▽g(x,y,z)∘(x-x0, y-y0, z-z0) = 0
Data una superficie parametrica σ:A⊆R^2 → R^3. Quali sono le condizione affinché σ sia una superficie regolare?
- σ∈C1(A)
- σ è iniettiva su D
- ∀(u0, v0) ∈ D σu(u0, v0) non è parallelo a σv(u0, v0).
Enunciare l’equazione del piano tangente in (x0, y0, z0) della superficie con l’equazione del tipo σ(u0, v0).
P(u,v) = (x0, y0, z0) + uv1 + vu2.
v1 = d(σ(u0, v0))/du
v2 = d(σ(u0, v0))/dv
Enunciare la formula per ricavare il vettore normale in σ(u0, v0).
N = (σu(u0, v0) x σv(u0, v0))/||σu(u0, v0) x σv(u0, v0)||
Come si calcola l’area di una superficie parametrica σ(u, v).
Vedi appunti a pag 142.
Come si calola l’integrale superficiale di una funzione f in una superficie σ(u, v)?
Vedi appunti a pag 145.
Enuncia e dimostra il secondo teorema di Guldino.
Vedi appunti a pag 147.
Quando una superficie ∑ è orientata?
Lo è se ∃ in ogni punti un campo di vettori normali e continui.
Quando una superficie ∑ è regolare con bordo?
Lo è se ∃ una superficie regolare σ tale che:
σ:A⊆R^2 → R^3 e K⊆A chiuso → ∑ = σ(K).
Definisci e dimostra il flusso di F su una superficie orientata.
Vedi appunti a pag 149.
Enunciare il teorema della divergenza per un campo vettoriale in N = 3.
Vedi appunti a pag 150.
Enunciare il teorema di Stokes per N = 3.
Vedi appunti a pag 153.
Quanto vale il flusso di F se F è conservativo?
Vale 0.
Fai un esempio applicativo del teorema della divergenza.
