Kapitel 5 - Teil 3 - Trägheitsmoment

Question 1

Was ist das Trägheitsmoment 𝐼 ?

Answer 1

→ Maß für den Widerstand eines Körpers gegen Winkelbeschleunigung; analog zur Masse bei geradliniger Bewegung.

Question 2

Formel für Punktmasse:

Answer 2

𝐼 = 𝑚 𝑟²
– m: Masse,
r: Abstand zur Drehachse.

Question 3

Trägheitsmoment für mehrere Punktmassen:

Answer 3

𝐼 = ∑,𝑖 (𝑚,𝑖 𝑟,𝑖² )

Question 4

Warum hängt 𝐼 quadratisch vom Abstand ab?

Answer 4

→ Weil weiter außen liegende Masse stärker zur Trägheit beiträgt.

Question 5

Trägheitsmoment einer dünnen Kreisring-Scheibe (Masse m, Radius R):

Answer 5

𝐼 = 𝑚 𝑅²

Question 6

Trägheitsmoment einer Vollzylinderscheibe (Masse m, Radius R):

Answer 6

𝐼 = 1/2 𝑚 𝑅²

Question 7

Trägheitsmoment eines Hohlzylinders (Masse m, innerer Radius R₁ , äußerer Radius R₂ ​ ):

Answer 7

𝐼 = 1/2 𝑚 ( 𝑅₁² + 𝑅₂² )

Question 8

Trägheitsmoment eines dünnen Stabs um ein Ende (Parallelachsen­theorem anwenden):

Answer 8

𝐼 = 1/3 𝑚 𝐿²

Question 9

Steiner’scher Satz
(Parallelachsen­theorem):

Answer 9

𝐼 = 𝐼,cm + 𝑚 𝑑²
- 𝐼 cm ​: um Schwerpunkt,
- d: Achsabstand.

Question 10

Beispiel TGA für Trägheitsmoment:

Answer 10

Rotorblatt eines Ventilators → Trägheitsmoment bestimmt Start-/Stop-Drehmoment und Schwingungsverhalten.

Question 11

Beispiel Maschinenbau:

Answer 11

Schwungrad
→ Großes I = hohe Energiespeicherung für konstante Drehzahl.

Question 12

Trägheitsformel für Hohlkugel
(Masse m, Radius R):

Answer 12

𝐼 = 2/3 𝑚 𝑅²

Question 13

Trägheitsformel für Vollkugel (Masse m, Radius R):

Answer 13

𝐼 = 2/5 𝑚 𝑅²

Question 14

Trägheitsformel für eine rechteckige Platte
(Masse m, Seiten 𝑎 , 𝑏 )
um Mittelachse senkrecht zur Fläche:

Answer 14

𝐼 = 1/12 𝑚 ( 𝑎² + 𝑏² )

Question 15

Physikalische Bedeutung:

Answer 15

→ Je größer I, desto mehr Drehmoment nötig, um dieselbe Winkelbeschleunigung zu erreichen
( 𝜏 = 𝐼𝛼 ).

Question 16

Stolperfalle Achsenwahl:

Answer 16

→ Trägheitsmoment stark abhängig von Lage und Orientierung der Achse.

Question 17

Trägheitsmoment experimentell bestimmen:

Answer 17

→ Torsionspendel:
𝑇 = 2𝜋 √ (𝐼/𝐷)
(D = Torsionssteifigkeit).

Question 18

Wirkung bei dynamischer Auslegung von Trägheitsmoment:

Answer 18

→ Bestimmung von Schwingungsfrequenzen und Dämpfungsbedarf rotierender Komponenten.

Question 19

TGA-Praxis für Trägheitsmoment:

Answer 19

→ Dimensionierung von Wellen und Lagern für Motoren und Pumpen, um Überlast durch großes Trägheitsmoment zu vermeiden.

Question 20

Zusammenhang mit Rotationsenergie:

Answer 20

𝐸 rot = 1/2 𝐼 𝜔²

Question 21

Beispiel für ein Trägheitsmoment:

Answer 21

Pendel mit ausgedehntem Gewicht → Trägheitsmoment beeinflusst Periodendauer
𝑇 = 2𝜋 √ (𝐼 / 𝑚𝑔ℎ) .

Question 22

Trägheitsmoment eines Rechteckquerschnitts (Breite 𝑏 b, Höhe ℎ h) um neutrale Biegeachse:

Answer 22

𝐼 = 𝑏ℎ³ / 12

Question 23

Bedeutung in Strukturanalyse:

Answer 23

→ Trägheitsmoment von Balkenquerschnitten bestimmt Biegesteifigkeit und Schwingungsverhalten.

Question 24

Intuitionstipp für das Trägheitsmoment:

Answer 24

→ Trägheitsmoment = „Verteilung der Masse zur Achse“;
Wenn Masse
-nah an Achse = kleines I,
-weit weg = großes I.