Vorlesung 4

Question 1

Statistik als Teilgebiet der Stochastik

Answer 1

• Explorative Statistik
  systematische Suche nach Zusammenhängen zwischen Daten
• Stochastik
  Statistische Wahrscheinlichkeitstheorie
• Wahrscheinlichkeitstheorie
  Zuordnung von Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten
• Mathematische Statistik
  auch induktive oder schließende Statistik, Massenerscheinungen (große
  Datenmengen) mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beurteilen
• Deskriptive Statistik
  Verdichtung von Daten zu Tabellen, graphische Darstellung und Kennzahlen
  (auch Lagemaße oder Standardabweichung)

Question 2

Grundgesamtheit

Answer 2

Die Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man im Zuge einer
statistischen Erhebung eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann
begrenzt oder unbegrenzt sein.

Question 3

Stichprobe

Answer 3

Als Stichprobe bezeichnet man eine Teilmenge einer Grundgesamtheit. Ihre Größe ist immer
begrenzt.

Question 4

Arithmetischer Mittelwert

Answer 4

beschreibt den statistischen Durchschnittswert

Question 5

Empirischer Median

Answer 5

mittlerer Wert einer geordneten Messreihe (z.B. aussagekräftiger bei
Einkommensdurchschnitt von 98 Normalverdienern und 2 Spitzenverdienern)

Question 6

Empirischer Modalwert (Modus)

Answer 6

Wert, der am häufigsten Vertreten ist (Werbung)

Question 7

Geometrisches Mittel

Answer 7

(Wirtschaftsstatistik; weniger anfällig gegenüber Ausreißern ohne sie auszuschließen)

Question 8

Skalenniveaus

Answer 8

Das Skalenniveau drückt aus, wie quantitativ ein Antwortwert ist, das heißt, inwieweit
sinnvolle Rechenoperationen angewendet werden können. Es werden vier Skalenniveaus
unterschieden

Question 9

Nominaskala

Answer 9

(nicht-metrisch bzw. kategorial; Darstellung und Klassifizierung qualitativer
Eigenschaftsausprägungen. Der Modus kann identifiziert werden):
Geschlecht (männlich, weiblich) oder Farbe (blau, gelb, grün, rot usw.)

Question 10

Ordinaskala

Answer 10

(nicht-metrisch bzw. kategorial; Aufstellung einer Rangordnung -
besser/schlechter, größer/kleiner, häufiger/seltener usw. - mit Hilfe von Rangwerten. Modus
und Median können identifiziert werden):
Art des Wohnorts (Einzelhaus, Dorf, Kleinstadt, Großstadt)
Fahrzeugklasse (Kleinwagen, unterer Mittelklassewagen, oberer Mittelklassewagen usw.)

Question 11

Intervallskala

Answer 11

(metrisch; gibt quantitative Werte wieder. Modus, Median und
arithmetisches Mittel können berechnet werden. Ist immer in gleichgroße Skalenabschnitte
unterteilt. Im Gegensatz zur Verhältnisskala hat die Intervallskala keinen natürlichen
Nullpunkt): Temperatur in Celsius oder IQ-Skala
à Nicht x ist doppelt so groß wie y (10 Grad ist nicht doppelt so heißt wie 5 Grad)

Question 12

Ratioskala/Verhältnisskala

Answer 12

(metrisch; Modus, Median und arithmetisches Mittel können
berechnet werden. Gültigkeit von Verhältnissen: ein Einkommen von 4000 € ist doppelt so
groß wie ein Einkommen von 2000 €): Körpergröße oder Monatseinkommen

Question 13

Standardabweichung

Answer 13

Oft blenden Durchschnittswerte wichtige Informationen aus: „Die Deutschen trinken pro
Jahr durchschnittlich 20 Liter Wein“. (Manche trinken nichts, andere zu viel). Deshalb fügt
man Durchschnittswerten am besten immer auch ein Maß für die Abweichung (Streuung)
vom Durchschnitt (Mittelwert) bei, wie die Standardabweichung.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals rund um
dessen Mittelwert (arithmetisches Mittel).

Question 14

Verteilungen

Skizze

Answer 14

Eine Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit einzelner Zufallsvariablen an. Sie kann als
Verteilungs- oder Dichtefunktion angegeben werden.
Aus den Funktionen kann für den
Wert x0 die Wahrscheinlichkeit
ermittelt bzw. abgelesen werden
[Dichtefunktion: Integral bis x0;
Verteilungsfunktion F(x0)], mit der
der Wert x0 unterschritten wird. 

à Das Integral bis xo beschreibt
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis eintritt
à Verteilungsfunktion ist deutlicher,
endet immer bei 1 oder 100%

Question 15

Verteilungen Logarithmische Normalverteilung

Anwendung der Log-Normalverteilung

Answer 15

Verteilungen in der Natur (Hochwasser, Ernteerträge); Zeitstudien & Lebensdaueranalysen; Konzentrations- und Reinheitsprüfungen.

Question 16

Verteilungen Logarithmische Normalverteilung

Merkmale

Answer 16

Einseitige Begrenzung durch null; Multiplikatives Zusammenwirken mehrerer Effekte.

Question 17

Anwendung der Normalverteilung

Answer 17

Körpergröße, Körpergewicht, Produktionsmaße (häufig
bei großen Grundgesamtheiten)
Merkmale: Mittelwert = Median; symmetrisch; eingipflig

Question 18

Verteilungen Exponentialverteilung

Answer 18

Zeit des Atomzerfalls bei radioaktiven Stoffen, Arbeitszeit einer Maschine zwischen zwei Stillständen, Lebensdauer von Bauelementen oder Lebewesen

Question 19

Verteilungen Exponentialverteilung

Merkmale

Answer 19

Einseitige Begrenzung durch null; Maximalwert der Funktion bei null.

Question 20

Berechnung eines Konfidenzintervalls

Was ist das Konfidenzintervalll

Answer 20

à mü = Mittelwert, unbekannt
à xquer = bekannt aus Stichprobe
„Aufspannen“ eines Unsicherheitsbereiches um den berechneten Mittelwert einer
Stichprobe (x) zur Abschätzung des Mittelwertes der Grundgesamtheit μ
à Zur Abschätzung eines unbekannten Mittelwertes der Grundgesamtheit μ werden auf
Basis einer Stichprobe mit dem Umfang n sowie den berechneten Größen „Mittelwert“ (x)
und „Standardabweichung“ (s) der Stichprobe Konfidenzgrenzen berechnet.

Question 21

Berechnung eines Konfidenzintervalls

Der Student-Faktor tm;1-a/2

Answer 21

m = n-1 (Umfang der Stichprobe minus 1)
a: vorgegebene statistische Sicherheit (z.B. 95%)
kann als Funktion des Stichprobenumfanges und der statistischen Sicherheit einer Tabelle
entnommen werden.

Question 22

Berechnung eines Konfidenzintervalls

Einseitiges Konfidenzintervall

Answer 22

à Klausurfrage auf gelbe Formel
bezogen
à Anpassung der Formel:
Obere Grenze = +
Untere Grenze = -
à gegeben n (Stichprobe)=10 und
Ergebnis bei 95% Sicherheit
à Tabellenwert ablesen bei n-1 = 9
und 95% Sicherheit
à in Formel einsetzen und
ausrechnen
Beispiel für eine einseitige ([meist] obere Konfidenzgrenze) Fragestellung: maximale
Bodenkonzentration im Rahmen einer Gefährdungsabschätzung

Question 23

Berechnung eines Konfidenzintervalls

Zweiseitiges Konfidenzintervall

Answer 23

à verteilt auf zwei Seiten

à n = 10 und Eintrittswahrscheinlichkeit 97,5%

à Eintrittswahrscheinlichkeit 95% gefordert, weil
Sicherheit auf beiden Seiten bestehen muss (nicht
auf einer Seite 5% sondern auf beiden Seiten 2,5%)
ist Eintrittswahrscheinlichkeit in Tabelle 97,5%
Beispiel für eine zweiseitige (obere und untere
Konfidenzgrenze) Fragestellung: Herstellung eines
Produktes (z. B. Kolben), mit engen Maßvorgaben

Question 24

Messbares Risiko

objektives Risiko

Answer 24

beruht auf naturwissenschaftlich messbaren Risikokriterien

Question 25

Messbares Risiko Klassische Kriterien

Answer 25

* Eintrittswahrscheinlichkeit eines Schadens * Schadensumfang Risiko = Gefährdungspotential x Exposition

Question 26

Messbares Risiko weitere Kriterien

Answer 26

* Ubiquität: räumliche Verbreitung des potentiellen Schadens * Peristenz: zeitliche Ausdehnung des potentiellen Schadens * Reversibilität: Wiederherstellbarkeit * Verzögerungseffekt: Latenz zwischen Ergebnis und Schaden * Ungewissenheit: Indikatoren für Unsicherheitskomponenten

Question 27

Umgang mit wissenschaftlicher Unsicherheit Problematik

Answer 27

* Sicherheitserwartungen von Politik & Gesellschaften kollidieren mit der wissenschaftsinhärenten Unsicherheit * Medien kommunizieren wissenschaftliche Unsicherheit eher wenig differenziert - vorläufige Ergebnisse werden zu scheinbar sicheren Ergebnissen

Question 28

Umgang mit wissenschaftlicher Unsicherheit Antiquiertes Vorgehen

Answer 28

* Unsicherheit existieren nicht, zumindest nicht in der Öffentlichkeit * unsichere Ergebnisse sind keine Ergebnisse * Wissenschaft verfügt über Meinungshoheit und vermittelt illusorische Sicherheit

Question 29

Umgang mit wissenschaftlicher Unsicherheit

Answer 29

* Frühe Veröffentlichung unsicherer wissenschaftlicher Ergebnisse * Offenlegung von Datenlücken, Korrektur von Empfehlungen * Transparenz, Partizipation und Proaktivität schafft Vertrauen in Entscheidungsträger, Akzeptanz von Entscheidungen und hilft, Krisen zu vermeiden, bevor sie entstehen

Question 30

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz Sozio-kulturelle Faktoren

Answer 30

* Wahlmöglichkeiten: erzwungene vs. freiwillige Risikoübernnahme * Kontrollierbarkeit: eigene Handlungsmöglichkeit zur Vermeidung * Risiko-Nutzen-Verhältnis * persönliche Betroffenheit * Schrecklichkeit des Schadens * Vertrauen: Glaubwürdigkeit der verantwortlichen Institution * Verantwortlichkeit: natürliche vs. anthropogene Risiken * Art des Schadenseintritt: zeitlich lokalisierbar vs. zeitlich diffus

Question 31

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz Regressionsanalyse - Korrelationskoeffizient

Answer 31

Die aufgeführten Punktwolken lassen z.T. einen Zusammenhang zwischen den Größen X und Y erwarten. Derartige nicht streng funktionale Zusammenhänge heißen stochastische oder korrelative Zusammenhänge. Dabei bestimmt der empirische Korrelationskoeffizient rxy mit -1 ≤ rxy ≤ 1 den Grad, d.h. die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhanges. (r2 = B; Bestimmtheitsmaß) à Korrelationskoeffizient Dimension: -1 oder +1, bei 0 alles durcheinander à Bestimmtheitsmaß: quadrierter Korrelationskoeffizient

Question 32

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz Gegenüberstellung von zwei Parametern zur Klärung der Frage, ob ein korrelativer Zusammenhang besteht.

Answer 32

à Minimierung der Summe der quadrierten | Abstände zur Regressionsgeraden.

Question 33

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz Vernünftige Zusammenhänge

Answer 33

- Körpergröße / Körpergewicht | - Autounfälle / Alter des Fahrers

Question 34

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz Unsichere Zusammenhänge

Answer 34

- Körpergewicht / Arbeitsbelastung | - Kaffeekonsum / Lebenserwartung

Question 35

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz Unsinnige Zusammenhänge, kein kausaler Zusammenhang

Answer 35

- Hamsterpopulation in der Lüneburger Heide / Glühweinkonsum auf dem Aachener Weihnachtsmarkt

Question 36

Subjektive Risikowahrnehmung - die tägliche Risikobilanz | Möglichkeit der Winkelbezüge indirekter Zusammenhang

Answer 36

à Geburtenraten und Klapperstörche à auf dem Dorf leben mehr Klapperstörche, da werden auch mehr Kinder geboren à bedingt sich nicht gegenseitig, sondern hängt vom Wohnort ab

Question 37

Repräsentative Umfragen

Answer 37

Repräsentativ ist eine Umfrage dann, wenn die Auswahl der Befragten möglichst alle Merkmale der zu erforschenden Personengruppe in verkleinertem Maßstab abbildet. à Geschlecht, Alter, Bildungsstand

Question 38

Grundgesamtheit

Answer 38

Die Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man im Zuge einer statistischen Erhebung eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein.

Question 39

Stichprobe

Answer 39

Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt.

Question 40

Randomized-Response-Technik

Answer 40

Bei der Anwendung der Technik entscheidet ein Zufallsgenerator (z.B. ein Würfel) darüber, ob der Befragte gebeten wird, ehrlich auf die kritische Frage (z.B. „Haben Sie schon einmal Steuern hinterzogen?“) zu antworten, oder ob à Minimierung der Summe der quadrierten Abstände zur Regressionsgeraden. Vernünftige Zusammenhänge: ØKörpergröße / Körpergewicht ØAutounfälle / Alter des Fahrers Unsichere Zusammenhänge: ØKörpergewicht / Arbeitsbelastung ØKaffeekonsum / Lebenserwartung Unsinnige Zusammenhänge, kein kausaler Zusammenhang: ØHamsterpopulation in der Lüneburger Heide / Glühweinkonsum auf dem Aachener Weihnachtsmarkt 34 er unabhängig vom Frageninhalt aufgefordert wird, mit „ja“ zu antworten. Der Ausgang des Zufallsexperiments ist dem Fragesteller nicht bekannt, er weiß also niemals, ob eine individuelle „ja“-Antwort lediglich durch den Würfel determiniert wurde oder ob der Befragte tatsächlich zugegeben hat, Steuern hinterzogen zu haben. Auf diese Weise wird die Anonymität des Befragten geschützt: Bei einer „ja“-Antwort ist dem Fragesteller kein Rückschluss auf das tatsächliche Verhalten möglich. Auf aggregierter Ebene kann der Anteil der Personen, die auf die kritische Frage mit „ja“ geantwortet haben, dennoch bestimmt werden. Dies ist möglich, weil der erwartete Anteil der Personen, die lediglich durch den Würfel zu einer „ja“-Antwort gezwungen wurden, durch die vom Zufallsgenerator erzeugte Verteilung bekannt ist.

Question 41

Eine Dichtefunktion (auch Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Answer 41

beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable eine bestimmte Merkmalsausprägung annimmt. Dies gilt allerdings nur bei diskreten Merkmalen. Bei stetigen Merkmalen können über die Dichtefunktion keine Aussagen über das Eintreffen einer Merkmalsausprägung getroffen werden, hier werden die Wahrscheinlichkeiten über die Verteilungsfunktion ermittelt (de.statista.com/statistik/lexikon)

Question 42

Die Verteilungsfunktion

Answer 42

beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten, d.h. sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable höchstens einen bestimmten Wert annimmt. (de.statista.com/statistik/lexikon)