Bild und Urbild

Question 1

Was ist das Bild?

Answer 1

f(m) ist das Bild von m unter f

Question 2

• Was ist Bild/Bildbereich?

- Wie wird´s bezeichnet?

Answer 2

• ein n, was auch f(m) ist, also einen Partner hat

- als Bild(f) oder f(M)

Question 3

Was ist das Urbild?

Answer 3

das m, was einen n Partner hat, ist dessen Urbild unter f.

Question 4

• Wann ist eine Abbildung surjektiv?
• > Wie definiere ich dies mit Quantoren?
• Wie beweise ich surjektiv/nicht surjektiv? Welche 2 Möglichkeiten gibt es? Zeige es am Beispiel f(x)=3x+5 von R nach R

Answer 4

• Eine Abbildung ist surjektiv, falls die Gleichung f(x) =y für jedes y∈N mindestens eine Lösung x∈M besitzt, d.h…
• > Definition: ∀y∈N:(∃x∈M: y=f(x))

Beweis Möglichkeiten:
- Beweis meist auch mit Nachdenken und Einsetzen und einzelnen Beispielen/Gegenbeispielen möglich.

Rechnerischer Beweis: (mit Beispiel f(x)=3x+5)

1. y=f(x) formulieren. y=3x+5
2. Nach x auflösen. x=(y-5)/3
3. Nun schauen, ob …
   - das Ergebnis, wenn man Zahlen der Ausgangsmenge einfügt, in der Zielmenge liegt(reelle Zahlen, natürliche, etc.). Für Bsp: Ja
   - gilt f(x)=y, gibt es also ein x, dessen Funktionswert y ist. Für Bsp: Ja, (y-5)/3 ist der Funktionswert von x

Question 5

• Wann ist eine Abbildung injektiv?
• > Wie definiere ich dies mit Quantoren?
• Wie beweise ich injektiv/nicht injektiv? Welche 2 Möglichkeiten gibt es? Zeige es am Beispiel f(x)=3x+5 von R nach R

Answer 5

Eine Abbildung ist injektiv, falls die Gleichung f(x) =y für y∈N höchstens eine Lösung x∈M besitzt, d.h…

-> ∀x1, x2 ∈ M: f(x1) = f(x2) =⇒x1 =x2.

Beweis Möglichkeiten:
- Beweis meist auch mit Nachdenken und Einsetzen und einzelnen Beispielen/Gegenbeispielen möglich.

• Rechnerischer Beweis: (mit Bsp: ist f(x)=3x+5
  1. f(x1) = f(x2) gleichsetzen. 3x1+5=3x2+5
  Anstatt x1 und x2 kann ich auch a und b einsetzen, was auch immer.
  2. Prüfen, ob x1=x2. Für Bsp: Ja, also injektiv

Question 6

Wann ist eine Abbildung bijektiv?

Answer 6

Wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Question 7

Was ist ein identische Abbildung M?
Wie wird sie bezeichnet/notiert?
Die Formel dafür?
Ist eine identische Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Answer 7

• Abbildung von M nach M, die jedes Element m ∈ M auf m abbildet.
• wird mit idM (anstatt des üblichen f) bezeichnet. (Wenn Abbildung L ist, dann idL etc.)
• idM: M → M
• bijektiv