Skalar- und Matrizenmultiplikation Flashcards
(11 cards)
Ist eine Skalarmultiplikation assoziativ und/oder distributiv?
Sie ist beides.
Wann dürfen zwei Matrizen A und B miteinander multipliziert werden?
Spalten von A müssen gleich Zeilen von B sein.
A hat m Zeilen und n Spalten, und B hat n Zeilen und s Spalten. Wie viele Zeilen und Spalten hat das Produkt von A und B?
Das Ergebnis hat dann m Zeilen und s Spalten
Wie multipliziere ich die Matrizen A und B, wenn die Voraussetzungen für eine Multiplikation erfüllt sind?
Nehme erste Zeile von A und erste Spalte von B. Erstes Element von A mal dem von B + a2*b2…
Was ist Im (groß i)? Welche Bedingung muss erfüllt sein?
Einheitsmatrix/Identitätsmatrix, (ist dasselbe), deren Diagonalelemente 1 und deren übrige Einträge 0 sind.
100
010
001
Muss eine quadratische Matrix sein.
Ist Matrizenmultiplikation assoziativ?
Ja
ImA =? (Einheitsmatrix mal A). Begründe Antwort!
A, da immer mal null multipliziert wird, außer einmal pro Zeile mal 1 (Eigenschaft der Einheitsmatrix)
Was ist das neutrale Element einer Matrizenmultiplikation?
Die Einheitsmatrix, da ein neutrales Element die Matrix nicht verändert( +0 bei Addition und *1 bei Multiplikation)
Gilt für zwei nxn-Matrizen A und B AB=BA?
Nein, fast immer gilt es nicht.
Bedingungen für: wann ist eine Matrix A ∈ Mnn(K) invertierbar?
- wenn sie quadratisch ist. Nur quadratische Matrizen sind invertierbar.
- wenn es eine Matrix A^−1 in Mnn(K) gibt, sodass A^−1A = AA^−1= In (Einheitsmatrix n)
Sei A ∈ Mmm(K) invertierbar. Seien B, C ∈ Mmm(K) Matrizen, für die AB = BA = Im und AC = CA = Im gilt. Beweisen Sie, dass B = C gilt, dass also das inverse Element zu einer invertierbaren Matrix eindeutig ist.
Nach Voraussetzung gilt AB = AC. Da A invertierbar ist, gibt es eine Matrix A^−1 ∈ Mmm(K) mit A^−1*A = Im. Wir multiplizieren die Gleichung AB =AC von links (für Zeilenumformung multipliziert man von links) mit A^−1 und erhalten:
A^−1(AB) = A^−1(AC) Da das Assoziativgesetz gilt …
(A^−1A)B = (A^−1A)C, also ImB = ImC.
Es folgt die Behauptung.
