Verknüpfungen

Question 1

Sei M eine Menge. Was ist eine Verknüpfung auf M?

Answer 1

Eine Verknüpfung ist eine Abbildung von MxM auf M (MxM ->M)

In einfachen Worten: zwei Elemente einer Menge werden durch eine Verknüpfung (+-/*) bearbeitet. Dann schaut man, ob jenes Ergebnis wieder in DERSELBEN Menge liegt. Wenn ja, ist es tatsächlich eine Verknüpfung.

Question 2

Sei ◦ eine Verknüpfung auf einer Menge M. Wann hat sie ein neutrales Element?

Answer 2

Die Verknüpfung ◦ besitzt ein neutrales Element e, wenn es ein Element e in M so gibt, dass a ◦ e = a und e ◦ a = a für alle a ∈ M erfüllt ist. Für + ist e meist 0 und für * meist 1

Question 3

Sei ◦ eine Verknüpfung auf einer Menge M, die ein neutrales Element e besitzt. Wann ist m ∈ M invertierbar?

Answer 3

m ∈ M ist invertierbar, wenn es ein Element m′∈ M gibt, sodass m ◦ m′= e und m′◦ m = e ist (bei plus z.B: 3+(-3)=0)

Question 4

Welche Elemente sind in Q mit der Verknüpfung · (Multiplikation) invertierbar?

Answer 4

Das Element 0 ∈ Q ist bezüglich · nicht invertierbar, denn es gibt keine rationale Zahl x ∈ Q, so dass 0 · x = 1 ist.
Jede andere rationale Zahl ist bezüglich · invertierbar, denn sei a/b(Bruch)∈ Q mit a/b ungleich 0. Dann gilt a ungleich 0 und b ungleich 0. Es folgt b/a∈ Q, und a/b·b/a= 1. Es gilt auch b/a·a/b= 1.
Es folgt, dass b/a invers zu a/b ist.

Question 5

Sei M eine Menge mit zwei Verknüpfungen ◦ und #.

Wann gilt in M das Distributivgesetz?

Answer 5

Falls für alle m1, m2, m3∈ M(die nicht verschieden sein müssen!! geht also auch 0,0,1, wenn nur zwei Elemente 0 und 1 gegeben sind) die folgenden beiden Regeln gelten:

(i) m1◦ (m2#m3) = (m1◦ m2)#(m1◦ m3), und
(ii) (m1#m2) ◦ m3= (m1◦ m3)#(m2◦ m3)

Du siehst, hier werden Klammern gesetzt, und dies wird dann quasi “ausmultipliziert”.
◦ und # sind generell Platzhalter für Rechenoperationen

Question 6

Sei F2 eine Menge mit zwei Elementen, die wir mit 0 und 1 bezeichnen, also F2:= {0, 1}. Untersuche die Verknüpfung auf kommutativ, assoziativ, Invertierbarkeit und distributiv!

Answer 6

+ und * Tabelle aufstellen (siehe Seite 49)

1. Kommutativ:
   Die Tabellen sind symmetrisch entlang der Diagonalen. Es gilt also i+j = j+i und i · j = j · i für alle i, j ∈ F2. Somit sind die Verknüpfungen + und · auf F2 kommutativ.
2. Assoziativ:
   Um zu überprüfen, ob + und · assoziativ sind, müssen wir für je drei Elemente i, j, k ∈ F2 untersuchen, ob (i+j)+k = i+(j +k) beziehungsweise i·(j ·k) =(i · j) · k gilt. Da wir in F2 nur zwei verschiedene Elemente zur Verfügung haben, kommen in diesen Gleichungen Elemente mehr als ein Mal vor. Gleichungen: siehe Seite 49. Es folgt, dass + und · assoziativ sind.
3. Invertierbarkeit:
   Bezüglich der Verknüpfung + ist das Element 0 das neutrale Element. Bezüglich · ist 1 das neutrale Element.
   Bezüglich + ist jedes Element in F2 invertierbar. Es gilt nämlich 0 + 0 = 0, das heißt, 0 ist zu 0 invers, und 1 + 1 = 0, das heißt, 1 ist zu 1 invers. Bezüglich · ist das Element 0 nicht invertierbar, denn es gibt kein Element i ∈ F2 mit 0 ·i = i ·0 = 1. Das Element 1 ist invertierbar, denn 1 ·1 = 1. Das heißt, invers zu 1 ist 1.
4. Distributiv:
   Siehe Tabelle auf Seite 50.
   Somit gelten auch die Distributivgesetze in F2.