Komposition von Abbildungen

Question 1

Was sind die Bedingungen für Werte- und Definitionsbereich von g◦f?

Answer 1

Wertebereich von f muss gleich dem Definitionsbereich von g sein.
f : Z → N0
g : N0→ Z

Question 2

Seien L, M und N Mengen, und seien f : L → M und g : M → N Abbildungen.

Beweise: Wenn f und g surjektiv sind, dann ist g ◦ f surjektiv.

Answer 2

Seien f und g surjektiv. Wir zeigen, dass g ◦ f surjektiv ist. Dazu sei n ∈ N.
Da g surjektiv ist, gibt es ein m ∈ M mit g(m) = n.
Da f surjektiv ist, gibt es ein l ∈ L mit f(l) = m.
Dann gilt (g ◦f)(l) = g(f(l)) = g(m) = n.
Da jedes n ∈ N ein Urbild unter g ◦ f besitzt, ist g ◦ f surjektiv.

Question 3

Seien L, M und N Mengen, und seien f : L → M und g : M → N Abbildungen.

Beweise: Wenn f und g injektiv sind, dann ist g ◦ f injektiv.

Answer 3

Seien f und g injektiv. Wir zeigen jetzt, dass g ◦ f injektiv ist. Dazu seien l, l′∈ L mit (g ◦f)(l) = (g ◦f)(l′).
Es folgt g(f(l)) = g(f(l′)).
Da g injektiv ist,gilt f(l) = f(l′)
Da f injektiv ist, gilt l = l′.
Jedes Element in Bild(g ◦f)besitzt also genau ein Urbild. Somit ist g ◦f injektiv.

Question 4

Beweise: Wenn f und g bijektiv sind, dann ist g ◦ f bijektiv.

Answer 4

Beweise, dass g und f beide injektiv und surjektiv sind.
Dann ist g ◦ f injektiv und surjektiv.
Und dann ist g ◦ f bijektiv.

Question 5

Sei f : L → M eine Abbildung. Beweise, dass idM◦ f = f und f ◦ idL= f sind.

Answer 5

(idM◦ f)(l) = idM(f(l)) = f(l) für alle l ∈ L,

Erklärung: Ich packe l in f. f macht, was es sagt, bildet l also von L nach M ab. f(l) packe ich dann in idM. idM macht nichts weiter als von M nach M abzubilden, also quasi nichts. Deshalb kann es auch wegfallen, weshalb wir dann nur f(l) übrig haben.

und

(f ◦ idL)(l) = f(l) für alle l ∈ L

Für ausführliche Erklärungen, S. 43.

Question 6

• Sei f: M → N. Wann ist f invertierbar?
• Was sind die Ergebnisse von
  … (f−1◦ f)(m) =?
  …(f ◦ f−1)(n) = ?

Answer 6

-Wenn es eine Abbildung f^−1: N → M gibt, so dass f^−1◦ f = idM und f ◦ f^−1= idN ist

(f−1◦ f)(m) = m für alle m ∈ M
(f ◦ f−1)(n) = n für alle n ∈ N ist.

Unbedingt kleinen Text neben Seite 44 lesen und verbildlichen!

Question 7

Was ist der Zusammenhang zwischen Bijektivität und Invertierbarkeit?

Answer 7

• Bijektive Abbildungen sind invertierbar
• Invertierbare Abbildungen sind bijektiv.
• Eine Abbildung ist bijektiv … und …
  Eine Abbildung ist invertierbar … sind äquivalente Aussagen

Question 8

Assoziativgesetz der Komposition:

Gegeben seien: die Mengen L,M, N, X und die Abbildungen f : L → M, g : M → N und h : N → X

1. Was besagt das Gesetz?
2. Notiere die Assoziation der drei ABBILDUNGEN
3. Beweise das Assoziativgesetz der Komposition. Im zweiten Schritt des Beweises (du weißt schon wann), setze f′= h ◦ g und g′= g ◦ f

Answer 8

1. dass wir, wenn wir mehrere Abbildungen komponieren, Klammern setzen dürfen, wie es uns am günstigsten erscheint.
2. (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦f)
3. Erster Schritt: Die Kompositionen definieren. Ziel ist es zu zeigen, dass beide Kompositionen, also (h ◦ g) ◦ f und h ◦ (g ◦f) denselben Definitions- und Wertebereiche haben. Dies erfolgt so…

Da f : L → M und g : M → N Abbildungen sind, ist g ◦f definiert, und g ◦ f ist eine Abbildung von L nach N. Da h eine Abbildung von N nach X ist, ist h ◦(g ◦f) definiert, und h ◦(g ◦f) ist eine Abbildung von L nach X. Da g eine Abbildung von M nach N ist, und da h eine Abbildung von N nach X ist, ist h ◦g definiert und eine Abbildung von M nach X. Da f eine Abbildung von L nach M ist, ist auch (h ◦ g) ◦f definiert, und (h ◦g) ◦f ist eine Abbildung von L nach X. Beide Kompositionen sind also definiert, und sie haben denselben Definitions- und Wertebereich.

Zweiter Schritt: Jeweils das Startelement (Element aus der ersten Menge) einfügen. Dies erfolgt so…

((h ◦ g) ◦ f)(l) = (f′◦ f)(l)
......................= f′(f(l)) 
......................= (h ◦ g)(f(l))
......................= h(g(f(l))) 
(h ◦ (g ◦f ))(l) = (h ◦ g′)(l)
......................= h(g′(l))
......................= h((g ◦f)(l))
......................= h(g(f(l))).