Zeilenäquivalente Matrizen

Question 1

Nenne die 3 Methoden, um eine elementare Zeilenumformung durchzuführen. Nenne auch deren Notierungen.

Answer 1

1. Zeilen vertauschen:
   - Zij: Vertausche die i-te Zeile mit der j-ten Zeile.
2. Zeile mit Zahl (Skalar) multiplizieren
   - Zi(r): Multipliziere die i-te Zeile mit einem Skalar r ∈ K, wobei r nicht 0 sein darf.
3. Zeile mit was multiplizieren und Ergebnis auf andere Zeile addieren.
   - Zij(s): Addiere das s-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile, wobei s ∈ K und i ungleich j sind.

Question 2

Was sind
… PijA
… Di(r)A
… Tij(s)A

Answer 2

• die Matrix, die wir erhalten, indem wir Zij auf A anwenden
• die Matrix, die wir erhalten, indem wir Zi(r) auf A anwenden
• die Matrix, die wir erhalten, indem wir Zij(s) auf A anwenden

Question 3

Worum handelt es sich bei Eij∈ Mmn(K) ? (ij sind klein unter E)

Answer 3

Um eine Elementarmatrix, d. h. eine Matrix aus Nullelementen, mit der Ausnahme, dass an der Stelle (i,j) ein Einselement vorliegt (es muss MINDESTENS ein Einselement vorliegen, es können auch ganz viele Elemente mit unterschiedlichen Zahlen vorliegen. Es muss nur mindestens eine Eins dort sein, weil man eine Zeile nicht mit 0 multiplizieren darf, erinnere dich daran), wobei i als Zeilenindex und j als Spaltenindex der Matrizen verwendet wird.

Question 4

Was sind und wie multipliziert man die quadratischen Matrizen der Form Eij und Ekl?
Wie sieht die Matrix aus?

Answer 4

E steht für Einheitsmatrix mit einer 1 am gegebenen Index, ansonsten alles Nullen.
Eij * Ekl = 0 (Nullmatrix), falls j ungleich k
= Eil, falls j gleich k
Überall nullen außer an der Stelle Eil

Question 5

Nenne die drei Grundformen der Elementarmatrizen.

Answer 5

Pij (ij als Index), Di(r) (i als index) , Tij(s) (ij als index)

Question 6

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9012 ist die Matrix A. Sei B die Matrix, die aus A entsteht, indem wir die erste und die dritte Zeile von A vertauschen, dann die neue erste Zeile mit 6 multiplizieren und dann die zweite Zeile zur dritten addieren. Berechnen Sie B und bestimmen Sie eine 3 × 3-Matrix S, so dass SA = B ist.

Answer 6

Wenn wir die 3×3-Matrix P13 von links an A multiplizieren,so erhalten wir die Matrix, die aus A entsteht, wenn wir die erste und dritte Zeile von A vertauschen. Multiplizieren wir P13A von links mit der 3 ×3-Matrix D1(6), so wird die erste Zeile von P13A mit 6 multipliziert. Multiplizieren wir jetzt die Matrix D1(6)P13A von links mit T32(1), so wird die zweite Zeile von D1(6)P13A zur dritten addiert, und es gilt …

T32(1)D1(6)P13A = B

S= T32(1)D1(6)P13 Ich nehme 3x3 Einheitsmatrix (also mit schrägen 1en, und wende die Schritte darauf an).

Question 7

Was sind die inverse zu
… Pij
… Di(r)
… Tij(s)

Answer 7

Pij*Pij= Im (Einheitsmatrix, alles Null und Einsen schräg). Die Matrix Pij ist also zu sich selbst invers.

Di(r)*Di(1/r) = Im
Dies zeigt, dass Di(r) invertierbar mit inverser Matrix Di(1/r) ist.

Tij(−s)*Tij(s) = Im

Question 8

Wann nennen wir die Matrizen A und B zeilenäquivalent?

Wie schreiben wir die Zeilenäquivalenz von A und B? Was ist die Voraussetzung, um von Zeilenäquivalenz zu sprechen?

Answer 8

wenn es endlich viele Elementarmatrizen E1, . . . , Er gibt, so dass A = E1E2···ErB ist.
–> Die Jede Elementarmatrix steht quasi für einen Schritt. Also eine Ausgangsmatrix B und alle Schritte, die unternommen werden, um gleich A zu sein. Dann ist es zeilenäquivalent.

A ∼z B und es muss auch B ∼z A gelten.

Question 9

Wann multipliziert man Elementarmatrizen von links und wann von rechts an eine Matrix A?

Answer 9

Von links für elementare Zeilenumformung, von recht für elementare Spaltenumformung

Question 10

Was ist eine elementare Zeilenumformung?

Answer 10

Eine Multiplikation mit einer Elementarmatrix, also einer modifizierten Einheitsmatrix, z.B.
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Question 11

Was ist eine Elementarmatrix?

Answer 11

Eine modifizierte Einheitsmatrix, z.B.
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017
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