Lecture 04: Komplexe Zahlen Flashcards
(16 cards)
Wie viele Rechenoperationen benötigt der Gauß-Algorithmus bei einer quadratischen Matrix 𝐴∈𝐾𝑛×𝑛 ?
Etwa 𝑂(𝑛3) Operationen im Körper 𝐾.
Welche fünf Hauptschritte umfasst Algorithmus 2.7 zum Lösen eines LGS 𝐴 ⋅𝑥 = 𝑏?
(A∣b) auf strenge Zeilenstufenform bringen.
Bestimme 𝑟 = Zahl der Zeilen mit mindestens einem Nicht-Null-Eintrag;
notiere Pivotspalten 𝑗1,…,𝑗𝑟.
Ist 𝑗𝑟 = 𝑛 + 1 ⇒ System unlösbar, Lösungmenge 𝐿=∅.
Notiere die Nicht-Pivot-Indizes 𝑘1,…,𝑘𝑛−𝑟.
Parametrisiere 𝐿 gemäß Formel (2.2):
freie Variablen 𝑥𝑘ℓ
beliebig, gebundene 𝑥𝑗𝑖
werden eindeutig berechnet.
Wann erklärt Algorithmus 2.7 ein LGS als unlösbar?
Wenn in Zeile 𝑟 der strengen Zeilenstufenform das Pivot in Spalte 𝑛 + 1 liegt, also die Zeile (0 …0∣𝑏𝑟) mit 𝑏𝑟 ≠ 0 erscheint (𝑗𝑟 = 𝑛+1).
Was gilt für ein homogenes LGS (𝑏 = 0) hinsichtlich Lösbarkeit?
Das Unlösbarkeits-Szenario tritt nie auf;
𝑥 = 0 ist stets Lösung. Die Erweiterungsspalte kann entfallen.
Nenne die drei möglichen Lösungsfälle eines allgemeinen LGS und ihre Rang-Bedingungen.
Unlösbar: 𝑗𝑟 = 𝑛+1.
Eindeutig lösbar: 𝑟 = 𝑛 und 𝑗𝑟 = 𝑛
(also volle Pivot-Treppen, 𝑚≥𝑛 nötig).
Unendlich viele Lösungen: 𝑟 < 𝑛 und 𝑗𝑟 ≠ 𝑛+1;
es gibt 𝑛 − 𝑟 freie Parameter.
Wie lautet die Definition des Rangs rg(𝐴) einer Matrix
𝐴∈𝐾𝑚×𝑛?
Die Anzahl 𝑟 der Zeilen einer Zeilenstufenform von
𝐴, die mindestens einen Nicht-Null-Eintrag besitzen; diese Zahl ist unabhängig von der gewählten Stufenform.
Wann heißt eine quadratische Matrix 𝐴∈𝐾𝑛×𝑛 regulär?
Genau dann, wenn rg(𝐴)=𝑛.
Welchen Rang haben Einheits- und Nullmatrix?
rg(In)=n (regulär)
und
rg(0)=0
Welcher obere Grenzwert gilt allgemein für den Rang?
rg(A)≤min{m,n} für jede 𝐴∈𝐾𝑚×𝑛 .
Formuliere das Rang-Kriterium (Satz 2.9) für die Lösbarkeit eines LGS.
Ein LGS 𝐴 ⋅ 𝑥 = 𝑏 ist lösbar genau dann,
wenn rg(𝐴) = rg(𝐴 ∣ 𝑏).
Wie wird die imaginäre Einheit 𝑖 über Matrizen eingeführt?
𝐶 = { (a b / -b a) | a, b, ∈ R},
𝑖 := (0 1 / -1 0)
Warum ist 𝐶 ein Körper?
Abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation (kommutativ).
𝐼2 ist Einselement.
Für 𝑧=𝑎𝐼2+𝑏𝑖≠0 existiert das Inverse 1/(a^2 + b^2)
Wie schreibt man Elemente von 𝐶 kurz und was sind Real- und Imaginärteil?
Jedes 𝑧 ∈ 𝐶 wird als
𝑎 + 𝑏𝑖 notiert.
Dann ist
𝑎 = Re(𝑧) der Realteil und
𝑏 = Im(𝑧) der Imaginärteil
Gib Formeln für Addition, Multiplikation und Inversion zweier komplexer Zahlen 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖,
𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2𝑖 an.
Addition:
𝑧1+𝑧2=(𝑎1+𝑎2)+(𝑏1+𝑏2)𝑖z.
Multiplikation:
𝑧1𝑧2=(𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2)+(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑖.
Inversion:
z^-1 = (a-bi) / (a^2 +b^2)
Was versteht man unter der komplexen Konjugation und welche Rechenregel gilt dafür?
Für 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ist 𝑧ˉ = 𝑎 − 𝑏𝑖.
Es gilt (𝑧1 + 𝑧2)‾ = 𝑧ˉ1 + 𝑧ˉ2 und (𝑧1 𝑧2)‾ = 𝑧ˉ1 𝑧ˉ2.
Wie ist der Betrag ∣𝑧∣ einer komplexen Zahl definiert und welche zwei Hauptregeln erfüllt er?
Definition: ∣𝑧∣ = sqrt(𝑧𝑧ˉ) = sqrt(𝑎2+𝑏2).
Regeln: ∣𝑧1𝑧2∣=∣𝑧1∣⋅∣𝑧2∣∣ (multiplikativ).
∣𝑧1+𝑧2∣≤∣𝑧1∣+∣𝑧2∣ (Dreiecksungleichung).
