Lecture 9: Basen III, Lineare Codes Flashcards
(10 cards)
Wie lautet die Dimension der Lösungsmenge 𝐿 eines homogenen LGS 𝐴⋅𝑥=0?
s gilt dim(𝐿)=𝑛−rg(𝐴), wobei 𝑛 die Zahl der Variablen ist.
Wie konstruiert man eine Basis des Lösungsraums 𝐿 eines homogenen LGS in strenger Zeilenstufenform?
Wähle für jede freie Variable 𝑥𝑘ℓ einen Vektor 𝑣(ℓ) mit
𝑣𝑘ℓ(ℓ)=1,
𝑣𝑘𝑖(ℓ)=0 für 𝑖≠ℓ,
𝑣𝑗𝑖(ℓ)=𝑎𝑖,𝑗𝑖−1(𝑏𝑖−∑𝑎𝑖,𝑘𝑗 𝑣𝑘𝑗(ℓ)) für jede Pivotzeile.
Die 𝑛−𝑟 so definierten Vektoren bilden eine Basis von 𝐿.
Wie erhält man eine Basis für einen Unterraum 𝑈⊆𝐾𝑛, der durch Vektoren
𝑣1,…,𝑣𝑚 erzeugt wird?
Baue eine Matrix 𝐴 mit den 𝑣𝑖 als Zeilen.
Führe den Gauß-Algorithmus aus.
Entferne alle Nullzeilen; die verbleibenden Nicht-Null-Zeilen sind linear unabhängig und spannen 𝑈 auf ⇒ Basis.
Welche drei äquivalenten Beschreibungen des Rangs rg(𝐴) liefert Proposition 6.12?
rg(𝐴)= Dimension des von den Zeilen aufgespannten Unterraums.
rg(𝐴)=𝑛−dim{𝑥∣𝐴⋅𝑥=0}.
rg(𝐴)= Anzahl der Nicht-Null-Zeilen einer Zeilenstufenform von 𝐴.
Was gilt in einem 𝑛-dimensionalen Raum für eine Menge
𝑉′={𝑣1,…,𝑣𝑛′} ?
Ist
𝑛′> 𝑛 → 𝑉′ ist linear abhängig.
Ist 𝑛′<𝑛 → 𝑉′ kann kein Erzeugendensystem sein.
inwieweit ist dim von n abhängig?
Sie bilden eine Basis ⇔ dim𝑉=𝑛 und sie sind linear unabhängig ⇔ dim𝑉=𝑛 und sie erzeugen 𝑉.
Ist 𝑛<dim𝑉, erzeugen sie 𝑉 nicht.
Ist 𝑛>dim𝑉, sind sie abhängig.
Welche Dimension hat ein Unterraum 𝑈⊆𝑉 im Vergleich zu 𝑉
Immer dim(𝑈)≤dim(𝑉). Ist zudem dim(𝑈)=dim(𝑉)<∞, so folgt 𝑈=𝑉
Wie lautet die Definition eines linearen Codes (Länge, Informationsrate und Redundanz)?
Ein linearer Code ist ein Unterraum 𝐶⊆𝐾𝑛 mit Dimension 𝑘; man spricht von einem (𝑛,𝑘)-Code. Die Länge ist 𝑛, die Informationsrate 𝑘/𝑛 und die Redundanz 𝑛−𝑘.
Was ist eine Generatormatrix 𝐺 eines linearen Codes und welche Rangbedingung muss sie erfüllen?
G∈K n×k mit 𝑐=𝐺𝑥 für jedes Informationswort 𝑥∈𝐾𝑘. Damit diese Darstellung eindeutig ist, muss rg(𝐺)=𝑘;
äquivalent: die Spalten von 𝐺 sind linear unabhängig.
Was sind Codewort und Informationswort in der Codesprache?
Das gesendete 𝑐=(𝑐1,…,𝑐𝑛)∈𝐾𝑛 heißt Codewort;
das ursprüngliche 𝑥=(𝑥1,…,𝑥𝑘)∈𝐾𝑘 heißt Informationswort.
