Lecture 03: Lineare Gleichungssysteme Flashcards
(11 cards)
Wie lautet die Definition eines linearen Gleichungssystems (LGS)?
Ein LGS ist eine Gleichung der Form 𝐴⋅𝑥=𝑏
mit einer Matrix 𝐴 ∈ 𝐾𝑚×𝑛
und einem Vektor 𝑏 ∈ 𝐾𝑚
Was versteht man unter der Lösungsmenge eines LGS?
Die Lösungsmenge ist die Menge aller 𝑥∈𝐾𝑛, die die Gleichung
𝐴 ⋅ 𝑥 = 𝑏 erfüllen.
Wann heißt ein LGS homogen und wann inhomogen?
Homogen, wenn 𝑏 = 0; andernfalls (also 𝑏 ≠ 0) heißt es inhomogen.
Was sind Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix?
Koeffizientenmatrix: die Matrix 𝐴 des LGS.
Erweiterte Koeffizientenmatrix: (𝐴 ∣ 𝑏) ∈ 𝐾𝑚×(𝑛 + 1), also 𝐴 mit 𝑏 als zusätzlicher Spalte.
Welche drei elementaren Zeilenoperationen gibt es?
Typ I: Vertauschen zweier Zeilen.
Typ II: Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar 𝑠 ∈ 𝐾∖{0}.
Typ III: Addieren des 𝑠-fachen einer Zeile zu einer anderen (𝑠 ∈ 𝐾).
Warum ändern elementare Zeilenoperationen die Lösungsmenge nicht?
Jede Operation ist durch eine weitere elementare Zeilenoperation umkehrbar; daher bleibt jede Lösung vor und nach der Operation gültig, und die Lösungsmenge bleibt unverändert.
Was ist eine Zeilenstufenform und wann ist eine Matrix in strenger Zeilenstufenform?
Zeilenstufenform:
Beginnt eine Zeile mit 𝑘 Nullen, stehen darunter nur Nullen.
Unter dem ersten von 0 verschiedenen Eintrag (Pivotelement) jeder Zeile stehen nur Nullen.
Strenge Zeilenstufenform: Zusätzlich stehen über jedem Pivotelement nur Nullen.
Was ist ein Pivotelement?
Der erste von 0 verschiedene Eintrag einer Zeile in Zeilenstufenform; unter ihm befinden sich ausschließlich Nullen. 3. Vorlesung
Warum bringt man die erweiterte Matrix (𝐴 ∣ 𝑏) in (strenge) Zeilenstufenform und was zeigt sie genau an?
Weil man danach die Lösungsmenge direkt ablesen kann – Pivotspalten geben gebundene Variablen, Nicht-Pivotspalten freie Parameter an.
Skizziere die Schritte des Gauß-Algorithmus (Algorithmus 2.5).
- Setze 𝐵 := 𝐴.
- Betrachte die ersten 𝑟 Zeilen von 𝐵 (bereits in Stufenform).
- Ist 𝑟 = 𝑚, stoppe (bzw. gehe zu (8) für strenge Form).
- Suche links unterhalb von Zeile 𝑟 den ersten Nicht-Null-Eintrag → Pivot.
- Tausche die Pivotzeile mit Zeile 𝑟 + 1 (Typ I).
- Nulle alle Einträge unterhalb des Pivots aus (Typ III).
- Erhöhe 𝑟 und gehe zu (2).
- Für strenge Form: nulle Einträge oberhalb der Pivots aus (Typ III).
Wie liest man die Lösungsmenge aus einer strengen Zeilenstufenform ab?
Schreibe jede Pivotzeile als Gleichung. Variablen ohne Pivot sind frei (Parameter).
Löse nach gebundenen Variablen auf und formuliere die Menge aller Vektoren 𝑥 in Parametergestalt.
