Lecture 10 Flashcards
(15 cards)
Welche Generatormatrix besitzt der (8, 4)-Wiederholungs-Code und was leistet er?
G=( I4 I4 ) erzeugt das Codewort (𝑥1,…,𝑥4,𝑥1,…,𝑥4)
Der (8, 4)-Code erkennt jeden einzelnen Übertragungsfehler (1-fehlererkennend), kann ihn aber nicht korrigieren.
Wie sieht der (5, 4)-Parity-Check-Code aus und welche Fehler erkennt er?
Generatormatrix
𝐺=(𝐼4 | 1 1×4) erzeugt (𝑥1,…,𝑥4,𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4) Er erkennt 1 oder 3 Fehler; auch er ist 1-fehlererkennend.
Wie wird das Hamming-Gewicht 𝑤(𝑐) eines Vektors 𝑐∈𝐾𝑛 definiert?
Als Anzahl der Positionen mit 𝑐𝑖≠0:
𝑤(𝑐)=∣{ 𝑖∣𝑐𝑖≠0}∣.
Was ist der Hamming-Abstand 𝑑(𝑐,𝑐′) zweier Wörter?
d(c,c ′ )=w(c−c ′), also die Zahl der Stellen, an denen sich 𝑐 und 𝑐′ unterscheiden.
Wie bestimmt man den Abstand 𝑑(𝐶) eines Codes 𝐶⊆𝐾𝑛?
d(C)=min{d(c,c′ )∣c≠c′ ,c,c′ ∈C}; für lineare Codes gilt 𝑑(𝐶)=min{𝑤(𝑐)∣𝑐∈𝐶∖{0}}.
Welche Abstände haben (8,4)Wdh, (5,4) PC, (12,4)Wdh
(8, 4)-Wiederholungs-Code:
𝑑=2.
(5, 4)-Parity-Check-Code:
𝑑=2.
(12, 4)-Wiederholungs-Code:
𝑑=3.
Wie verknüpft Satz 7.5 den Abstand 𝑑(𝐶) mit Fehler-Korrektur und -Erkennung?
Ist 𝑑(𝐶)=2𝑒+1 (ungerade), so ist 𝐶 𝑒-fehlerkorrigierend.
Ist 𝑑(𝐶)=2𝑒+2 (gerade), so ist 𝐶 𝑒-fehlerkorrigierend und (𝑒+1)-fehlererkennend.
Was versteht man unter einer systematischen Generatormatrix und wie gewinnt man daraus eine Parity-Check-Matrix?
Für 𝐺=(𝐼𝑘|𝐴) (Systematik)
setzt man𝑃=(−𝐴∣ 𝐼𝑛−𝑘). Dann gilt 𝑃⋅𝐺=0 und 𝑃 hat Rang 𝑛−𝑘.
Wann gehört ein Wort 𝑐 zum Code 𝐶 mit Parity-Check-Matrix 𝑃?
Genau dann, wenn 𝑃⋅𝑐=0. Diese Gleichung beschreibt
𝐶 als Lösungsraum eines homogenen LGS.
Gib die Parity-Check-Matrix des (5, 4)-Parity-Check-Codes an.
𝑃=(−1 −1 −1 −1 1)(über dem Körper 𝐾).
Was ist das Syndrom eines empfangenen Wortes 𝑐′ ?
Der Vektor 𝑠 = 𝑃⋅𝑐′ ∈ 𝐾^𝑛−𝑘; er misst die Abweichung von einem gültigen Codewort.
Skizziere den Syndrom-Dekodierungs-Algorithmus.
Empfange 𝑐′ und berechne 𝑠=𝑃⋅𝑐′.
Finde den Fehlervektor 𝑓 minimalen Gewichts mit 𝑃⋅𝑓=𝑠.
Setze 𝑐′′=𝑐′−𝑓; dann 𝑐′′∈𝐶.
Löse 𝐺𝑥=𝑐′′ und gib das Informationswort 𝑥 aus. Wird 𝑓 nicht eindeutig bestimmt, gebe Fehlermeldung.
Wie viele verschiedene Syndrome existieren und warum ist die Dekodierung damit effizient?
Es gibt ∣𝐾∣^ 𝑛−𝑘 Syndrome; deshalb kann man für jedes Syndrom das zugehörige 𝑓 in einer Tabelle speichern und extrem schnell nachschlagen
Was verbessert der (7, 4)-Hamming-Code gegenüber dem einfachen Wiederholungs-Code?
Mit nur 7 statt 8 Bits (höhere Informationsrate als 1/2) erreicht er bei geeigneter Parity-Check-Matrix ebenfalls 1-Fehler-Korrektur, also bessere Effizienz.
