Lecture 6: Linearkombinationen

Question 1

Was ist eine Linearkombination von Vektoren
𝑣1 ,…, 𝑣𝑛 ∈v ?

Answer 1

Ein Vektor 𝑣∈𝑉 heißt Linearkombination, wenn Skalare
𝑎1,…,𝑎𝑛∈𝐾 existieren mit 𝑣=𝑎1𝑣1+⋯+𝑎𝑛 𝑣𝑛

Question 2

Wie lautet die Spezialregel für Linearkombinationen, falls 𝑆=∅ ist?

Answer 2

Für 𝑆=∅ gilt, dass nur der Nullvektor 0 (als leere Summe) eine Linearkombination von 𝑆 ist.

Question 3

Wie beschreibt Satz 5.2 den erzeugten Unterraum
⟨𝑆⟩?

Answer 3

⟨S⟩={v∈V∣vistLinearkombinationvonS}. Bei endlich vielen Vektoren 𝑣1,…,𝑣𝑛 gilt
⟨𝑣1,…,𝑣𝑛⟩={∑𝑖=1 bis 𝑛: 𝑎𝑖 𝑣𝑖∣𝑎𝑖∈𝐾}.

Question 4

Welchen Unterraum erzeugen im 𝑅3 die Vektoren
𝑣1=(1,0,0)⊤ und 𝑣2=(0,1,0)⊤ ?

Answer 4

⟨v 1 ,v 2 ⟩={(a 1 ,a2 ,0) ⊤ ∣a 1​ ,a2 ∈R} –
also die 𝑥1𝑥2-Ebene.

Question 5

Können verschiedene Erzeugendensysteme denselben Unterraum liefern? Beispiel?

Answer 5

Ja. In 𝑅3 erzeugen
𝑣1=(1,0,0)⊤, 𝑣2=(0,1,0)⊤ und
𝑣1′=(2,0,0)⊤, 𝑣2′=(1,1,0)⊤ denselben Unterraum.

Question 6

Was besagt Proposition 5.4 über elementare Zeilenoperationen?

Answer 6

Führen Zeilenoperationen 𝐴⇝𝐴′ durch, dann spannen die Zeilen von 𝐴 denselben Unterraum in 𝐾1×𝑛 auf wie die Zeilen von 𝐴′.

Question 7

Wann heißen Vektoren 𝑣1,…,𝑣𝑛 linear unabhängig?

Answer 7

Genau dann, wenn aus 𝑎1 𝑣1 +⋯+ 𝑎𝑛 𝑣𝑛 = 0
stets 𝑎1 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0 folgt.

Question 8

Welche Äquivalenz liefert diese Definition für jede Linearkombination von
𝑣1,…,𝑣𝑛 ?

Answer 8

Für jedes 𝑣∈⟨𝑣1,…,𝑣𝑛⟩ sind die Koeffizienten
𝑎1,…,𝑎𝑛 eindeutig bestimmt.

Question 9

Wann ist ein einzelner Vektor 𝑣 linear unabhängig?

Answer 9

Genau dann, wenn 𝑣≠0
Für 𝑣=0 wäre 1⋅𝑣=0 eine nicht‑triviale Nullkombination.

Question 10

Zeige an 𝑣1=(1,1)⊤, 𝑣2=(1,−1)⊤∈𝑅2v, dass sie unabhängig sind.

Answer 10

Antwort: Aus 𝑎1𝑣1+𝑎2𝑣2=0 folgt das LGS
{𝑎1+𝑎2=0
⇒ 𝑎1 = 𝑎2 = 0 Nur die triviale Lösung → unabhängig.
{𝑎1−𝑎2=0

Question 11

Warum sind 𝑣1=(1,−1,0)⊤ und 𝑣2=(2,−2,0)⊤ abhängig?

Answer 11

Das Gleichungssystem liefert z. B. 𝑎1=2, 𝑎2=−1 mit 2𝑣1−𝑣2=0– also eine nicht‑triviale Nullkombination.

Question 12

Ist die unendliche Menge
{ 𝑥^𝑖 ∣ 𝑖 ∈ 𝑁0} ⊂ 𝐾[𝑥] linear unabhängig?

Answer 12

Ja. Eine endliche Linearkombination
∑ 𝑗=1bis 𝑛: 𝑎𝑗 𝑥^𝑖𝑗 = 0 führt, nach Gradvergleich, auf 𝑎𝑗=0für alle 𝑗.

Question 13

Wie prüft man lineare Unabhängigkeit von 𝑣1,…,𝑣𝑛∈𝐾𝑚 mittels Rang?

Answer 13

Baue die Matrix 𝐴=(𝑣1 ∣ … ∣ 𝑣𝑛).
Die Vektoren sind unabhängig genau dann, wenn
rg(𝐴)=𝑛.

Question 14

Was folgt unmittelbar, wenn 𝑛>𝑚 (mehr Vektoren als Raumdimension)?

Answer 14

Dann ist rg(𝐴)≤𝑚<𝑛, also
rg(𝐴)<𝑛 und die Vektoren sind linear abhängig.