Lecture 12

Question 1

Beispiel Matrix­abbildung Kern und Bild

Answer 1

Kern = Lösungsmenge des homogenen Systems
𝐴𝑥=0.

Injektiv ⇔ Spalten von 𝐴 sind unabhängig ⇔ Rang gleich Anzahl Spalten.

Question 2

Beispiel Ableitung Kern und Bild

Answer 2

Beim Ableiten von Polynomen ist der Kern die Menge aller Konstanten; das Bild umfasst alle Polynome – die Abbildung ist also nicht injektiv, aber surjektiv.

Question 3

Isomorphismus

Answer 3

Eine lineare Abbildung ist ein Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist. Ihre Umkehr­abbildung ist dann ebenfalls linear.

Question 4

Dimensionssatz (Rank-Nullity)

Answer 4

dim V = dim(Kern) + dim(Bild)

Question 5

Folgen aus dem Dimensionssatz

Answer 5

Haben Start- und Zielraum gleiche endliche Dimension, so sind Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent.

Zeilen- und Spalten­rang jeder Matrix fallen zusammen.

Question 6

Rechen­intuition

Answer 6

„Verlustfreie“ Abbildungen haben Kern = 0; ihr Bild hat volle Dimension. Werden Dimensionen addiert oder verglichen, steckt dahinter fast immer der Dimensionssatz.