Lecture 5: Vektorräume Flashcards
(14 cards)
Wie wird ein 𝐾-Vektorraum formal definiert?
Ein 𝐾-Vektorraum besteht aus einer Menge 𝑉 mit zwei Abbildungen
* Interne Addition +: 𝑉×𝑉→𝑉,
* Skalarmultiplikation ⋅: 𝐾×𝑉→𝑉,
die fünf Axiome erfüllen:
(𝑉,+) ist eine abelsche Gruppe.
𝑎⋅(𝑣+𝑤)=𝑎⋅𝑣+𝑎⋅𝑤.
(𝑎+𝑏)⋅𝑣=𝑎⋅𝑣+𝑏⋅𝑣.
(𝑎𝑏)⋅𝑣=𝑎⋅(𝑏⋅𝑣).
1⋅𝑣=𝑣.
Nenne mindestens fünf Beispiele für 𝐾-Vektorräume.
R 3 mit komponentenweiser Addition und Skalierung.
𝐾𝑚×𝑛 und damit speziell
𝐾𝑛.
𝐾 selbst (𝑛=1).
Der Nullraum {0}.
𝐶 als 𝑅-Vektorraum;
𝑅 als 𝑄-Vektorraum.
Polynomring 𝐾[𝑥] sowie {𝑓∈𝐾[𝑥]∣deg(𝑓)<𝑑}.
Funktionsraum Abb(𝑀,𝐾).
Gib ein Beispiel, das die ersten vier Vektorraumaxiome erfüllt, aber am fünften scheitert.
Wähle 𝑉=𝑍 (abelsche Gruppe) und definiere für alle
𝑎 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉
𝑎 ⋅𝑣 := 0
Dann gelten Axiome (1)–(4), jedoch nicht 1⋅𝑣=𝑣; also kein Vektorraum.
Welche vier Rechenregeln fasst Proposition 4.3 zusammen?
Für alle 𝑎∈𝐾, 𝑣∈𝑉:
𝑎⋅0=0.
0⋅𝑣=0.
(−𝑎) 𝑣=𝑎 (−𝑣)=−(𝑎 𝑣).
Aus 𝑎 𝑣=0 folgt 𝑎=0 oder 𝑣=0.
Wann heißt eine Teilmenge 𝑈⊆𝑉 Untervektorraum?
Genau dann, wenn
(i) 𝑈≠∅;
(ii) 𝑣,𝑤∈𝑈⇒𝑣+𝑤∈𝑈;
(iii) 𝑎∈𝐾, 𝑣∈𝑈⇒𝑎 𝑣∈𝑈.
Warum enthält jeder Unterraum den Nullvektor?
Weil 𝑈≠∅;
wähle
𝑣∈𝑈.
Mit (iii) gilt 0⋅𝑣=0∈𝑈.
Gib Beispiele für Unterräume bzw. Nicht‑Unterräume im 𝑅2.
Jede Gerade durch den Ursprung ist Unterraum (𝐾⋅𝑣). Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht, ist kein Unterraum.
Welche Mengenbildung liefert immer einen Unterraum?
Der Schnitt beliebig vieler Unterräume (inkl. zweier) ist wieder Unterraum.
Was ist der Summenraum 𝑈1+𝑈2 zweier Unterräume?
Die Menge aller Summen 𝑣+𝑤 mit 𝑣∈𝑈1,𝑤∈𝑈2; sie ist stets ein Unterraum und heißt Summenraum.
Welches Problem zeigt das Beispiel 𝑈1∪𝑈2 zweier Geraden im 𝑅2?
Die Vereinigung zweier Unterräume muss kein Unterraum sein; im Beispiel entsteht keine Abgeschlossenheit unter Addition.
Wie ist der von einer Menge 𝑆⊆𝑉 erzeugte Unterraum
⟨𝑆⟩ definiert?
⟨S⟩=⋂{U⊆V∣UUnterraum,S⊆U}; er ist der kleinste Unterraum, der 𝑆 enthält.
Was bedeutet ⟨𝑣⟩ für einen einzelnen Vektor 𝑣?
⟨v⟩={av∣a∈K}, also die durch den Ursprung gehende Gerade in Richtung 𝑣.
Formuliere Satz 4.8 über 𝑆=𝑈1∪𝑈2.
Für Unterräume 𝑈1,𝑈2 gilt
⟨𝑈1∪𝑈2⟩=𝑈1+𝑈2.
Was besagt Proposition 4.6 über 𝑈1∩𝑈2 und 𝑈1+𝑈2 ?
Sowohl der Schnitt 𝑈1∩𝑈2 als auch der Summenraum
𝑈1+𝑈2 sind Unterräume von 𝑉.
