Lecture 7: Basen I

Question 1

Was ist ein Erzeugendensystem einer Teilmenge 𝑆⊆𝑉?

Answer 1

S heißt Erzeugendensystem von
𝑉, wenn der von 𝑆 erzeugte Unterraum den ganzen Raum liefert, also
⟨𝑆⟩=𝑉.

Question 2

Wie wird eine Basis definiert?

Answer 2

Eine Teilmenge
𝑆⊆𝑉 ist Basis, wenn sie (i) ein Erzeugendensystem von
𝑉 ist und (ii) linear unabhängig. Damit lässt sich jeder Vektor
𝑣∈𝑉 eindeutig als Linearkombination der Elemente von
𝑆 schreiben.

Question 3

Gib ein Beispiel für eine Basis des 𝐾3 und erkläre, warum sie eine Basis ist.

Answer 3

Die Standardbasis
𝑒1=(1,0,0)⊤, 𝑒2=(0,1,0)⊤, 𝑒3=(0,0,1)⊤
ist linear unabhängig und erzeugt jeden Vektor
(𝑣1,𝑣2,𝑣3)⊤ durch
𝑣1𝑒1+𝑣2𝑒2+𝑣3𝑒3; also Basis.

Question 4

Kann 𝐾3 andere Basen haben? Gib eine an.

Answer 4

Ja. Zum Beispiel 𝑣1=(1,1,0)⊤, 𝑣2=(0,1,0)⊤, 𝑣3=(0,0,−1)⊤ bilden ebenfalls eine Basis, da sie linear unabhängig sind und 𝐾3 erzeugen.

Question 5

Was ist die Standardbasis des 𝐾𝑛?

Answer 5

S={e 1​ ,…,e n} mit 𝑒𝑖 = Einheitsvektor, der nur an Position 𝑖 eine 1 besitzt.

Question 6

Nenne ein Beispiel für eine unendliche Basis.

Answer 6

Im Polynomring 𝐾[𝑥] ist 𝑆={𝑥^𝑖∣𝑖∈𝑁0}={1,𝑥,𝑥2,… } eine unendliche Basis.