Lecture 11 Flashcards
(9 cards)
(7, 4)-Hamming-Code – Grundidee
Ein Codewort hat 7 Bit, davon sind 4 Informations-Bits. Die 3 übrigen Bits sind Paritäten, die sich jeweils als XOR-Summe bestimmter Informationsteile berechnen lassen. Damit steigt die Informationsrate gegenüber einem (8, 4)-Wiederholungs-Code von ½ auf 4⁄7.
Parity-Check-Matrix in Worten
Die Prüfmatrix
𝑃 besteht aus allen sieben von 0 verschiedenen 3-Bit-Spalten‐Vektoren. Jede Spalte „beschriftet“ genau ein Bit des Codeworts. Ein Wort gehört zum Code, falls das Matrix-Produkt 𝑃⋅𝑐 den Nullvektor ergibt.
Hamming-Abstand und Fehlerkorrektur der Pairity-Check-Matrix
Der minimale Hamming-Abstand beträgt 3. Daraus folgt:
1 Fehler kann korrigiert werden.
bis zu 2 Fehler können erkannt werden.
Syndrom-Dekodierung (kurz)
Es gibt nur 2^3=8 mögliche Syndrome – Null plus eine Spalte pro Bit.
Syndrom = 0 ⇒ kein Fehler.
Syndrom = Spalte i ⇒ Fehler im Bit i (einfach invertieren).
Durch eine kleine Nachschlagetabelle läuft die Korrektur blitzschnell.
Bauer-Code (8, 4)
Man hängt an jedes Hamming-Codewort ein Gesamt-Parity-Bit an. Ergebnis:
Länge 8, Informationsrate 4⁄8 = ½.
Minimaler Abstand 4 ⇒ 1-Fehler-Korrektur & 2-Fehler-Erkennung.
Damit klar besser als der simple Wiederholungs-Code gleicher Länge.
Definition „lineare Abbildung“
Für Vektorräume 𝑉,𝑊 über demselben Körper:
𝜑:𝑉 → 𝑊 ist linear, wenn 𝜑(𝑣+𝑤)=𝜑(𝑣)+𝜑(𝑤)
𝜑(𝑎𝑣)=𝑎𝜑(𝑣) gilt. Daraus folgt automatisch
𝜑(0)=0.
Typische lineare Abbildungen
Matrixmultiplikation 𝑥↦𝐴𝑥.
Polynome ableiten 𝑓↦𝑓′.
Koordinatenprojektion 𝑥↦𝑥𝑖.
Rotation oder Spiegelung am Ursprung in𝑅2.
Komposition bleibt linear
Sind
𝜑:𝑉 →𝑊 und
ψ:W→U linear, dann ist
𝜓∘𝜑:𝑉 → 𝑈 ebenfalls linear.
Kern und Bild
Kern
ker𝜑={𝑣∣𝜑(𝑣)=0}– misst „Verluste“.
Bild 𝜑(𝑉) – alles, was erreichbar ist.
Beides sind Unterräume. Für lineare Codes entspricht der Kern dem Fehlervektor-Raum, das Bild dem Code selbst.
