Matemática 17 C Flashcards
(10 cards)
Qual é a definição de um prisma e como identificar os tipos de prismas com base em suas bases?
Um prisma é um sólido geométrico com bases (chamadas de “teto” e “chão”) iguais e paralelas. Por exemplo, se as bases são triângulos, é um prisma triangular; se são trapézios, é um prisma trapezoidal. A identificação do tipo de prisma em questões de prova geralmente é indicada pelo nome (ex.: “prisma triangular” implica base triangular), e a base é essencial para cálculos como o volume. Os prismas mais cobrados em provas são os com bases como triângulos e trapézios.
Como calcular o volume, a área total e as diagonais de um cubo, e como evitar confusões em questões com informações indiretas?
O volume de um cubo é a área da base (lado elevado ao quadrado, ou lado²) vezes a altura (lado), resultando em lado elevado ao cubo (lado³). A área total é 6 vezes a área de uma face (lado²). A diagonal da face é lado vezes raiz de 2, e a diagonal do cubo é lado vezes raiz de 3, obtida pelo teorema de Pitágoras. Conhecendo o lado, calcula-se tudo no cubo: volume, área, diagonais e outras propriedades. Em provas, informações como diagonais permitem encontrar o lado. As arestas são perpendiculares às faces, formando 90° com retas na base, facilitando a visualização de triângulos retângulos.
Qual é a menor distância que uma formiga, caminhando pela superfície de um cubo maciço, percorre do vértice A ao vértice B?
Para encontrar a menor distância que a formiga percorre do vértice A ao vértice B na superfície de um cubo maciço, é necessário planificar o cubo. Ao desdobrar as faces do cubo, forma-se um padrão que permite traçar um segmento de reta entre os pontos A e B. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado na planificação, a menor distância é calculada como a raiz quadrada de cinco dividida por dois. Esse método de planificação é essencial para resolver problemas de distâncias mínimas em superfícies de sólidos, como cubos ou cilindros, onde o caminho não pode atravessar o interior do sólido.
Qual é o volume do octaedro formado pelos centros das faces de um cubo de lado dois?
O quadrado é um losango, mas suas diagonais são iguais (d1 = d2), diferentemente de um losango genérico, onde as diagonais podem ter comprimentos diferentes. A fórmula da área (d1 * d2)/2 vale para ambos, simplificando para d^2/2 no quadrado.
Para calcular o volume do octaedro regular inscrito em um cubo de lado dois, cujos vértices são os centros das faces do cubo, considera-se o octaedro como duas pirâmides opostas com bases quadradas. A base do octaedro é um quadrado formado pelas diagonais dos centros das faces, cada uma com comprimento dois (lado do cubo). A área da base é calculada como (diagonal × diagonal) / 2 = (2 × 2) / 2 = 2. A altura do octaedro é igual ao lado do cubo, ou seja, 2. O volume de uma pirâmide é (área da base × altura) / 3, então o volume total do octaedro (duas pirâmides) é 2 × (2 × 2) / 3 = 4/3. Assim, o volume do octaedro é quatro terços, obtido de forma ágil sem necessidade de cálculos complexos ou triângulos retângulos adicionais.
Como calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo retângulo reto?
Um paralelepípedo retângulo reto é um paralelepípedo com faces retangulares e ângulos retos entre arestas, diferente de um paralelepípedo oblíquo, cujas faces são paralelogramos não retangulares.
Com a fórmula da diagonal do paralelepípedo já tem a diagonal do cubo. Todos os lados são l, raiz de 3 l ao quadrado que dá l raiz de 3.
fazer no braço
Um paralelepípedo retângulo reto tem faces retangulares, com áreas das faces opostas iguais: a × b = quatro, a × c = dois e b × c = dezoito. Para encontrar o volume (a × b × c), multiplica-se as áreas: (a × b) × (b × c) × (a × c) = quatro × dezoito × dois = cento e quarenta e quatro. Tirando a raiz quadrada do produto, obtém-se a × b × c = raiz quadrada de cento e quarenta e quatro = doze. Assim, o volume é doze. Alternativamente, pode-se isolar a = quatro/b, c = dois/b, substituir em b × c = dezoito, resolver para b e calcular o volume, mas a multiplicação direta das áreas é mais rápida.
Como calcular o volume e a área total de um cilindro circular reto?
O cilindro circular reto tem bases circulares e é perpendicular ao chão. O volume é a área da base (pi × raio ao quadrado) × altura. A área lateral, obtida planificando, é dois × pi × raio × altura. A área total é a lateral + duas bases: dois × pi × raio × altura + dois × pi × raio ao quadrado. Planificação é chave para superfícies laterais.
O que é a seção meridiana de um cilindro circular reto, o que caracteriza um cilindro equilátero e como calcular a diagonal de sua superfície planificada?
A seção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo (base = diâmetro, altura = altura do cilindro) formado por um corte pelo eixo. Um cilindro equilátero tem seção meridiana quadrada, com altura = dois × raio. A diagonal da superfície lateral planificada (retângulo de comprimento dois × pi × raio e altura h) é raiz quadrada de (dois × pi × raio) ao quadrado + altura ao quadrado, usando Pitágoras. Planificação é crucial para superfícies laterais.
