Matemática 16 A Flashcards
(21 cards)
Exemplo de qdo se aplica com e sem repetição.
Com repetição: pode repetir; sem não pode.
Arranjo: a ordem é importante, como o podium numa corrida.
An^P pode ser An,p. N seria as 10 pessoas da corrida e p seria as pessoas com 3 pessoas. Qtos pódiuns pode formar diferente? Só usar a fórmula. Só vai precisar da fórmula se a questão exigir.
Arranjo com repetição, exemplo: qtos ns. de 3 algarismos consigo formar dentre 5 ns?
Como sei que é de arranjo?
É arranjo pq ordem importa.
a) sem restrição: qqr pessoa pode estar em qqr lugar.
d) Pódio com 8 participantes, onde A e B devem estar presentes. A tem 5 chances de posicionamento (diferente de ser o 1º colocado, aqui ele pode ou ñ ser o 1º colocado), e B tem 4 chances (podendo ser o 1º colocado ou não tb). As trocas entre A e B são consideradas no cálculo 5x4 (A pode ocupar 5 e B pode ocupar 4 lugares, inclusive o 1º lugar, então já tá considerando A e B trocando de lugar. Após posicionar A e B, sobram 6 participantes para as posições restantes, com permutações calculadas como 6, 5, 4…
Resolve por arranjo?
a) sem restrição: pode ser o que quiser; senha pode começar com 0; senha a ordem importa, é arranjo
c) abrange mais opções que a letra b, tem que fazer permutação com repetição para não contar no braço; embaixo fatorial para o que repete
https://www.youtube.com/watch?v=z8dDDjHnlUk
Ordem importa ou não?
https://www.youtube.com/watch?v=wf3vhVJ2Wn0
Arranjo e combinação são agrupamentos de elementos distintos.
Passagens de avião a ordem importa, os passageiros vão mudar de lugar, sair da janela, etc.
No caso, arranjo sem repetição é arranjo simples.
Qual a diferença de arranjo e combinação?
Arranjo, a ordem importa, combinação a ordem não importa; exs: podium e comissão de 3 alunos de uma sala.
Pode ser: Cn,p ou como na imagem.
a) Comissões: a ordem não importa. É combinação. Ou seja, se fizer casinha por casinha, que é o arranjo, vai errar.
Sem fórmula: abre o 9 5 vezes por 5!
Se o n. de baixo for o msm e em cima a soma der o de baixo, a combinação é a mesma. Isso pq se vai fazer uma combinação para formar uma comissão de 5 pessoas numa sala de 9 pessoas, ou escolhe as 5 que farão parte ou as 4 que não farão parte.
Na prova: uma combinação de C12,10 = C12, 2.
b) se for número, no primeiro abre 5 2 vezes e divide por 2!; no segundo abre 4 3 vezes e divide por 3! ou faz 4 3! e divide por 3!
c) A comissão deve ter 2 membros de Matemática e 3 de Física. É obrigatório incluir A (de Matemática) e excluir J (de Física). Há 5 pessoas de Matemática (incluindo A) e 4 de Física (excluindo J, sobram 3).
Matemática: A já está na comissão. Resta escolher 1 pessoa entre as 4 restantes de Matemática. Isso dá 4 possibilidades.
Física: J não pode estar. Escolhemos 3 pessoas entre as 3 disponíveis de Física. Isso dá 1 possibilidade.
Total: Multiplicamos as possibilidades: 4 x 1 = 4.
Resposta: Há 4 maneiras de formar a comissão.
d) Para questões de combinatória com “pelo menos”, como formar comissões de 5 pessoas com pelo menos 2 de matemática e 2 de física (supondo 5 pessoas de matemática e 4 de física):
- Não use exclusão. Liste direto os casos que atendem às condições.
- Casos possíveis:
- 2 de matemática + 3 de física: C(5,2) × C(4,3) = 10 × 4 = 40 comissões.
- 3 de matemática + 2 de física: C(5,3) × C(4,2) = 10 × 6 = 60 comissões.
- Total: 40 + 60 = 100 comissões.
Dica: Calcule cada caso válido separadamente e some. É mais fácil e evita erros.
e) Para a letra E, que pede comissões de 5 pessoas com pelo menos 1 de física (supondo 5 pessoas de matemática e 4 de física, total 9 pessoas):
- Estratégia: Usar exclusão é mais simples. Calcule o total de comissões e subtraia o caso indesejado (só matemática, sem física).
- Cálculo:
- Total de comissões: Escolha 5 de 9: C(9,5) = 126.
- Comissões só com matemática: Escolha 5 de 5 de matemática: C(5,5) = 1.
- Comissões com pelo menos 1 de física: 126 - 1 = 125.
- Resposta: 125 comissões.
Dica: Para “pelo menos 1”, subtrair o caso oposto (nenhum) é mais rápido. Confirme os cálculos do total e do caso indesejado.
Para formar triângulos distintos com 6 pontos em uma circunferência, entenda que queremos triângulos cujos vértices são 3 dos 6 pontos. Como os pontos estão em uma circunferência, qualquer escolha de 3 pontos forma um triângulo, sem alinhamento. A ordem dos pontos não importa, pois triângulos como ABC ou CAB são iguais, então usamos combinação, não permutação. Calcule escolhendo 3 pontos de 6: C(6,3) = 20 triângulos distintos. Não confunda com pontos em uma reta, onde trios colineares não formam triângulos; na circunferência, isso não ocorre. Dica: em questões de combinação, cheque se a ordem importa e adapte ao contexto, aqui sendo apenas C(6,3).
Para formar triângulos com vértices em 5 pontos na reta R e 4 pontos na reta S, precisamos de 3 pontos, mas não podemos escolher os 3 todos de R ou todos de S, pois pontos em uma mesma reta são colineares e não formam triângulos. As possibilidades válidas são: 2 pontos de R e 1 de S, ou 2 pontos de S e 1 de R. Calcule cada caso: para 2 de R e 1 de S, escolha 2 pontos de 5 em R, C(5,2) = 10, e 1 ponto de 4 em S, C(4,1) = 4, totalizando 10 × 4 = 40 triângulos; para 2 de S e 1 de R, escolha 2 pontos de 4 em S, C(4,2) = 6, e 1 ponto de 5 em R, C(5,1) = 5, totalizando 6 × 5 = 30 triângulos. Somando, 40 + 30 = 70 triângulos distintos. Dica: liste os casos possíveis, calcule as combinações (C(n,k) = n!/(k!(n-k)!), como C(5,2) = 5!/(2!3!) = 10), e some, garantindo que as escolhas respeitem as restrições geométricas do problema.
Outra maneira: Para formar triângulos com vértices em 5 pontos na reta R e 4 pontos na reta S (total de 9 pontos), uma segunda abordagem é usar exclusão. Calcule o total de maneiras de escolher 3 pontos de 9: C(9,3) = 84. Subtraia os casos inválidos, onde os 3 pontos são colineares (todos em R ou todos em S): para 3 pontos em R, C(5,3) = 10; para 3 pontos em S, C(4,3) = 4. Total de casos inválidos: 10 + 4 = 14. Assim, triângulos válidos: 84 - 14 = 70. Essa abordagem confirma o método anterior (2 de R e 1 de S: C(5,2) × C(4,1) = 40; 2 de S e 1 de R: C(4,2) × C(5,1) = 30; 40 + 30 = 70). Dica: para questões com restrições geométricas, como pontos em retas, exclusão (total menos casos colineares) é eficiente, mas sempre verifique o total de pontos e calcule as combinações corretamente (C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)).
Questão A: 9 amigos em 3 barracas distintas (2, 3, 4 lugares). Distribuir 9 amigos em barracas de 2, 3 e 4 lugares, ordem dentro das barracas não importa. Escolha 2 de 9 para a de 2 lugares: C(9,2) = 36; sobram 7, escolha 3 para a de 3: C(7,3) = 35; sobram 4, escolha 4 para a de 4: C(4,4) = 1. Total: 36 × 35 × 1 = 1260 maneiras. Ou: 9! / (2! × 3! × 4!) = 362880 / 288 = 1260. Raciocínio: combinações sequenciais ou permutação total ajustada pelos tamanhos das barracas.
Questão B: J na barraca de 3 lugares. Mesmo cenário, mas J deve estar na barraca de 3 lugares. Fixe J lá (1 escolha), restam 8 amigos. Escolha 2 de 8 para a de 2 lugares: C(8,2) = 28; sobram 6, escolha 2 para a de 3 (com J): C(6,2) = 15; sobram 4, escolha 4 para a de 4: C(4,4) = 1. Total: 28 × 15 × 1 = 420. Ou: 8! / (2! × 2! × 4!) = 40320 / 96 = 420. Raciocínio: fixe a restrição e distribua os demais com combinações.
Questão C: 3 barracas iguais (3 lugares cada). Distribuir 9 amigos em 3 barracas iguais de 3 lugares. Escolha 3 de 9: C(9,3) = 84; sobram 6, escolha 3: C(6,3) = 20; sobram 3, escolha 3: C(3,3) = 1. Total: 84 × 20 × 1 = 1680. Como barracas são iguais, divida por 3! = 6: 1680 / 6 = 280 maneiras. Ou: 9! / (3! × 3! × 3! × 3!) = 362880 / (6 × 6 × 6 × 6) = 280. Raciocínio: combinações com divisão pelo fatorial das barracas iguais.
Dica: Identifique se barracas são distintas ou iguais e aplique combinações ou fatoriais, ajustando para restrições ou indistinção.
Em uma festa com 10 pessoas, cada uma cumprimenta as outras com um aperto de mãos. Cada aperto envolve 2 pessoas, e a ordem não importa (A cumprimentar B é o mesmo que B cumprimentar A). Ninguém aperta a própria mão, e não há cumprimentos com mais de 2 pessoas. Assim, calcule o número de maneiras de escolher 2 pessoas de 10: C(10,2) = (10 × 9) / 2 = 45. Portanto, ocorrem 45 apertos de mãos. Raciocínio: use combinação C(n,2) para pares, onde n é o número de pessoas, garantindo que a ordem não importa.
Na Mega-Sena, um jogo mínimo de 6 dezenas custa R$2. Para saber quanto custa um jogo com 8 dezenas, entenda que todo jogo tem exatamente 6 dezenas. Ao escolher 8 dezenas, o sistema gera todos os jogos possíveis de 6 dezenas dentro dessas 8. Calcule o número de combinações: C(8,6) = (8 × 7) / (2 × 1) = 28 jogos. Como cada jogo custa R$2, o total é 28 × 2 = R$56. Raciocínio: o custo é proporcional ao número de combinações de 6 dezenas formadas, dado por C(n,6), onde n é o número de dezenas escolhidas.
Obs:
C7,6 = C7,1 pq a soma dá 7; abre o 7 uma vez e divide por 1!, fica 7/1! = 7
C8,6 = C8,2; abre o 8 2 vezes e multiplica por 2!, fica 8x7/2!
Para formar números de 3 algarismos usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, com algarismos distintos e em ordem crescente (como 124 ou 257, mas não 427), a solução é simples. Como os algarismos devem ser distintos e a ordem é crescente, escolha 3 algarismos de 5: C(5,3) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10. Cada conjunto escolhido (ex.: 1, 3, 4) só pode ser arranjado de uma forma em ordem crescente (1, 3, 4). Assim, o número de combinações já dá a resposta: 10 números. Raciocínio: a combinação C(5,3) seleciona os algarismos, e a restrição de ordem crescente fixa a única disposição possível para cada escolha.
Para formar uma comissão com 10 pessoas, sendo 1 presidente, 1 vice, 1 tesoureiro e 3 secretários (total de 6 pessoas), a ordem importa para presidente, vice e tesoureiro, mas não para os secretários. Primeiro, escolha os 3 cargos com ordem (arranjo): A(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 maneiras. Sobram 7 pessoas, escolha 3 secretários sem ordem (combinação): C(7,3) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35. Multiplique: 720 × 35 = 25200 comissões. Você também pode começar pela combinação: escolha 3 secretários primeiro, C(10,3) = 120, sobram 7, e arranje os 3 cargos, A(7,3) = 210; 120 × 210 = 25200, mesma resposta. Note que C(7,3) = C(7,4) pela simetria das combinações, mas isso não vale para arranjos: A(10,3) ≠ A(10,7). Raciocínio: use arranjo para cargos ordenados e combinação para os não ordenados, multiplicando as possibilidades, e a ordem de cálculo não afeta o resultado.
Para dividir 9 times de futebol em 3 chaves (1, 2 e 3) com 3 times por chave, cada chave já tem um cabeça-de-chave fixo (ex.: A, B, C), restando 6 times (9 - 3) para distribuir. A ordem dos times dentro de cada chave não importa. Escolha 2 dos 6 times para a chave 1 (com A): C(6,2) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15; sobram 4, escolha 2 para a chave 2 (com B): C(4,2) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6; sobram 2, escolha 2 para a chave 3 (com C): C(2,2) = 1. Total: 15 × 6 × 1 = 90 maneiras. Raciocínio: fixe os cabeças-de-chave, distribua os times restantes usando combinações (ordem não importa), e multiplique as escolhas. A resposta está na letra A: 90.
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 2 pessoas de um grupo de 6 para formar uma dupla, sabendo que escolher 2 para a dupla é o mesmo que escolher 4 para ficar de fora, usando a propriedade C(6,2) = C(6,4)? Note que essa propriedade não vale para arranjos, pois A(6,2) ≠ A(6,4).
Pela propriedade das combinações, C(6,2) = C(6,4). Calculando C(6,2) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15, temos 15 maneiras. Para arranjos, não se aplica: A(6,2) = 6 × 5 = 30, mas A(6,4) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360. Raciocínio: combinações ignoram ordem, então C(n,k) = C(n,n-k); arranjos consideram ordem, então A(n,k) ≠ A(n,n-k).
https://www.youtube.com/watch?v=cTSEwmU7Upg
Temos 10 pontos no plano: 4 (A, B, C, D) estão alinhados, 3 (E, F, G) também, e os outros não. Queremos triângulos formados por 3 pontos, mas 3 pontos alinhados formam reta, não triângulo. Total de escolhas de 3 pontos: C(10,3) = 120. Subtraia os casos inválidos: 3 de A, B, C, D (C(4,3) = 4) e 3 de E, F, G (C(3,3) = 1), total 4 + 1 = 5. Triângulos válidos: 120 - 5 = 115. Resposta: 115 (letra C). Raciocínio: calcule todas as escolhas e subtraia as que formam retas.
Obs: C7,6 = C7,1; abre 7 uma vez e divide por 1!
Em uma lanchonete com 3 tipos de salgados (coxinha, kibe, empada), queremos escolher 4 salgados, podendo repetir. Isso é uma combinação com repetição, pois a ordem não importa (coxinha, kibe = kibe, coxinha) e podemos repetir salgados. A fórmula é C(n+p-1,p), onde n é o número de tipos (3) e p é o número de escolhas (4). Assim, C(3+4-1,4) = C(6,4) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15. Resposta: 15 maneiras. Raciocínio: a fórmula ajusta o problema para contar escolhas com repetição, transformando em uma combinação simples.
Em um bar com 3 marcas de cerveja, queremos comprar 7 cervejas, com pelo menos uma de cada marca, e a ordem não importa. Isso é uma combinação com repetição, mas primeiro garantimos uma de cada marca: 3 cervejas já compradas (uma de cada). Restam 4 cervejas a comprar (7 - 3), com repetição permitida entre as 3 marcas. Usa-se a fórmula C(n+p-1,p), onde n = 3 (marcas) e p = 4 (cervejas a escolher). Assim, C(3+4-1,4) = C(6,4) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15 maneiras. Raciocínio: subtraia as cervejas obrigatórias e aplique a fórmula de combinação com repetição para o restante.
Um caminhão tem 10 carrinhos para pintar com 4 cores, e cada cor deve ser usada pelo menos uma vez; a ordem não importa. Primeiro, pinte 4 carrinhos, um com cada cor, restando 6 carrinhos. Agora, pinte esses 6 com as 4 cores, podendo repetir (combinação com repetição): C(n+p-1,p), onde n = 4 (cores) e p = 6 (carrinhos). Isso é C(9,6) = C(9,3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84. Resposta: 84 (letra B). Raciocínio: garanta uma de cada cor, então use a fórmula de repetição para os restantes, simplificando com a propriedade C(9,6) = C(9,3).
