Cauchy Flashcards
(15 cards)
Teorema de Cauchy para triânculos
f: U -> C holomorfa
△: triângulo com interior contido em C
-> △ ∫ f(z) * dz = 0
aberto estrelado
∃z0 ∈ U : ∀z ∈ U o segmente z0 a z ⊆ U
Exemplo aberto estrelado
C\l+
l+: semi-reta
Teorema funções holomorfas em U
Toda a função holomorfa f definida num aberto estrelado U tem primitiva em U
U aberto estrelado
f: U -> C holomorfa
𝛄⊆U caminho fechado
𝛄 ∫ f(z) * dz = 0
1ª fórmula integral de Cauchy
f: U -> C holomorfa
D[z0,r]: disco fechado
𝛄: fr(D[z0,r])
-> f(z) = 1 / 2𝝅i * 𝛄 ∫ f(w) / (w-z) * dw
∀z∈D(z0,r)
f holomorfa (entãos)
-> f analítica
-> f’ holomorfa -> f’ contínua
-> tem derivada complexa de todas as ordens
𝛄 ∫ f(z) * dz
f(z) = u(x,y) + i * v(x,y)
𝛄 parametrizado por 𝛂(t) = x(t) + i * y(t)
= 𝛄 ∫ (u * dx - v * dy) + i * 𝛄 ∫ (v * dx + u * dy)
Teorema de Cauchy (geral)
f: U -> C holomorfa
Ω ⊆ U compacto, conexo, limitado por um número finito de curvas simples, C1 por pedaços, 2 a 2 disjuntas:
fr(Ω) ∫ f(z) * dz = 0
Fórmula da Cauchy
Ω: região compacta, delimitada por uma única curva fechada, simples, C1 por pedaços, contida no domínio de f
f: holomorfa
∀z∈Ωº f(z) = 1/2𝝅i * fr(Ω) ∫ f(w) / w-z * dz
f^(n) (z) = n!/2𝝅i * fr(Ω) ∫ f(w) / w-z * dz
Como mostramos a continuidade?
U: aberto conexa de C
f: U -> C holomorfa
Se |f(z)| constante em U, então f também
Princípio de módulo máximo
U: aberto conexa de C
f: U -> C holomorfa
Se |f(z)| atinge um máximo em z∈U, então f é constante
Teorema Fundamental da Álgebra
p(z): polinómio em C, grau ≥1
-> p tem raiz em C
Teorema de Lionville
f: U -> C holomorfa e limitada
-> f constante
Lema integrais e séries
∑fn(z) (fn contínuas) converge uniformemente em 𝛄 (fechado) para F(z)
-> 𝛄 ∫ F(z) * dz = ∑(1 oo) (𝛄 ∫fn(z) * dz)
