Laurent

Question 1

A(z0, ρ1, ρ2)

Answer 1

{z∈C : ρ1 < |z-z0| < ρ1}

Question 2

Série de Laurent

Answer 2

f(z) = ∑(m=1 oo) bm / (z-z0)^m + ∑(n=0 oo) an * (z-z0)^n

Question 3

Série de Laurent an

Answer 3

= 1 / 2𝝅i 𝛄1 ∫ f(w) / (w-z0)^n+1 * dw
𝛄1 = {z∈C: |z-z0|<r1} e ρ1<r1sin<ρ2

Question 4

Série de Laurent bn

Answer 4

= 1 / 2𝝅i 𝛄2 ∫ f(w) * (w-z0)^m-1 * dw
𝛄2 = {z∈C: |z-z0|<r2} e ρ1<r2<ρ2

Question 5

Série de Laurent (propriedades)

Answer 5

converge uniformemente em cada anel fechado cocentrico com A contido em A

Question 6

Se f(z) = ∑(-oo oo) an * (z-z0)^n

Answer 6

an = 1 / 2𝝅i 𝛄r ∫ f(z) / (z-z0)^n+1 * dw
𝛄r = {z∈C: |z-z0|<r} e ρ1<r<ρ2

Question 7

Série de Laurent de e^(1/z)

Answer 7

A(0,0,oo)
∑1/n! * 1/z^n

Question 8

Série de Laurent de 1/z^2+z
A(0,0,1)

Answer 8

1/z + ∑(0 oo) (-1)^(n+1) * z^n

Question 9

Série de Laurent de 1/z^2+z
A(-1,1,oo)

Answer 9

∑(0 oo) 1/(z+1)^n

Question 10

singularidade definição

Answer 10

f: U -> C holomorfa
z0 ∈ C é uma singularidade se
z0 ∉ U e ∃r>0 : A(z0,0,r) ⊆ U

Question 11

singularidade removível (def)

Answer 11

bm = 0 ∀m

Question 12

pólo de ordem k (def)

Answer 12

bk ≠ 0 e bm = 0 ∀m>k

Question 13

pólo simples (def)

Answer 13

ordem 1

Question 14

singularidade essencial (def)

Answer 14

Se {m∈N : bm ≠ 0} foi infinito

Question 15

singularidade removivel

Answer 15

sse f admite um prolongamento holomorfo a U ∪ {z0}
sse lim z->z0 f(z) existe e é finito
sse f limitado numa vizinhança de z0

Question 16

f holomorfa em A(z0,0,ρ)

Answer 16

-> z0 é um pólo de ordem k≥0 sse lim(z-z0)^kf(z) existe e é um número complexo não nulo

Question 17

f tem polo de ordem k

Answer 17

lim z->z0 f(z) = oo

Question 18

Teorema Coroti-Weierstrass

Answer 18

z0: singularidade essencial de f
∀ A(z0,0,ρ) ⊆ Dom
-> f(A) denso em C